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1、学案6空间向量及其运算空间向量及其运算1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1.在高考中一般以选择、填空题的形式出现，属于低档题.2.空间向量是一种重要的数学工具，空间向量的运算与平面向量的运算有很多相似或相同之处.在高考中，有时会单独考查空间向量的运算及性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算的坐标表示，可以解决立体几何中的位置关系的证明、判断及空间角的计算；对解决探索性问题有独到之处.1.空间直角坐标系
2、的概念（1）OABC—D′A′B′C′是单位正方体.以O为原点，分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向，以线段OA,OC,OD′的长为单位长，建立三条数轴:x轴、y轴、z轴.也就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，______________叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做___________,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.x轴、y轴、z轴坐标平面(2)在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=_______，∠yOz=________.2.空间向量与平面向量一样，在空间，我们把具有________和________的量叫
3、做空间向量，向量的叫做向量的长度或模.大小方向大小90°135°3.共线向量（1）共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做共线向量或平行向量.（2）共线向量定理对于空间任意两个向量a,b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ,使.互相平行或重合a=λb4.共面向量（1）共面向量的定义：通常把的向量，叫做共面向量.（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y)，使p=xa+yb.平行于同一个平面5.空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a
4、,b，在空间任取一点O，作OA＝a,OB=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作__________，其范围是_________________，若〈a,b〉=,则称a与b_________,记作a⊥b.互相垂直0≤〈a,b〉≤π②两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则________________叫做向量a,b的数量积，记作________，即_______________________.（2）空间向量数量积的运算律①结合律：（λa）·b＝______________.②交换律：a·b=__________________;③分配律：a·（b+c)=__
5、______________.
6、a
7、·
8、b
9、cosa·b=
10、a
11、
12、b
13、cos〈a,b〉a·bλ(a·b)a·b+a·cb·a6.空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算设a=（a1,a2,a3),b=（b1,b2,b3),则a·b＝__________________.（2）共线与垂直的坐标表示设a=（a1,a2,a3),b=（b1,b2,b3),则a∥b________,________,________,________,a⊥b________________________（a,b均为非零向量).a1b1+a2b2+a3b3a=λba2=λb2a3=λb3
14、a1b1+a2b2+a3b3=0a1=λb1a·b＝0（3）模、夹角和距离公式设a=（a1,a2,a3),b=（b1,b2,b3),则｜a｜==___________.cos〈a,b〉==__________________.设A（a1,b1,c1）,B（a2,b2,c2),则dAB==_______________________.考点1空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.考点2空间向量的
15、线性运算【解析】（1）∵P是C1D1的中点，∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+D1C1=a+c+AB=a+c+b.(2)∵N是BC的中点,∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+BC=-a+b+AD=-a+b+c.【分析】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.（3）∵M是AA1的中点，∴MP=MA+AP=A1A+AP=-a+a+c+b=a+b+c，又NC1=NC+CC1=BC+AA1=AD+AA1=c+a，∴MP+NC1=a+b+c+a+c=a+b+c.【评析】用已知向量
