学案6 空间向量及其运算.ppt

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1、名师伴你行SANPINBOOK学案6空间向量及其运算考点1考点2考点3考点4名师伴你行SANPINBOOK填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测名师伴你行SANPINBOOK考纲解读空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.返回目录名师伴你行SANPINBOOK考向预测返回目录1.在高考中一般以选择、填空题的形式出现，属于低档题.2.空间向量是一

2、种重要的数学工具，空间向量的运算与平面向量的运算有很多相似或相同之处.在高考中，有时会单独考查空间向量的运算及性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算的坐标表示，可以解决立体几何中的位置关系的证明、判断及空间角的计算；对解决探索性问题有独到之处.返回目录1.空间向量（1）定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有和的量叫做空间向量，向量的叫做向量的长度或模.大小方向大小名师伴你行SANPINBOOK返回目录（3）特殊向量①零向量:我们规定，的向量叫做零向量，记为.②单位向量：的向量称为单位向量.③相反向量：，称为a的相反向量，记为-a.（2

3、）表示方法：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.如图所示，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为或.

4、a

5、

6、AB

7、长度为00模为1与向量a长度相等而方向相反的向量名师伴你行SANPINBOOK④相等向量：的向量称为相等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的数乘运算（1）定义：实数λ与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算.（2）向量a与λa的关系①当λ>0时，λa与a方向.②当λ=0时，λa=.③当λ<0时，λa与a方向.④λa的长度是

8、a的长度的倍，即

9、λa

10、=.返回目录方向相同且模相等λa相同0相反

11、λ

12、

13、λ

14、

15、a

16、名师伴你行SANPINBOOK（3）运算律①分配律：λ(a+b)=.②结合律：λ(μa)=(λμ)a.3.共线向量（1）共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做共线向量或平行向量.（2）共线向量定理对于空间任意两个向量a,b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ,使.（3）共线向量的推论返回目录λa+λb互相平行或重合a=λb名师伴你行SANPINBOOK如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空

17、间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+ta①,其中a叫做直线l的.如图所示，若在l上取AB=a，则①式可化为OP=.4.共面向量（1）共面向量的定义：通常把的向量，叫做共面向量.（2）共面向量定理：返回目录方向向量OA+tAB平行于同一个平面名师伴你行SANPINBOOK如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y)，使p=xa+yb.（3）共面向量定理的推论：如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使MP=.或对空间一点O来说，有OP

18、=OM+xMA+yMB.5.两向量的夹角已知两个向量a,b,在空间任取一点O，作OA=a,OB=b，则叫做向量a与b的夹角，记作，范围为，如果=，则称a与b,记作.返回目录xMA+yMB非零∠AOB［0,π］互相垂直a⊥b名师伴你行SANPINBOOK6.数量积的定义已知两个非零向量a,b，则叫做a,b的数量积，记作a·b，即a·b=.零向量与任何向量的数量积为0.特别地，a·a==.7.数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：（1）(λa)·b=λ(a·b);（2）a·b=b·a（交换律）；（3）a·(b+c)

19、=a·b+a·c（分配律）.返回目录

20、a

21、·

22、b

23、·cos

24、a

25、·

26、b

27、cosa2

28、a

29、2名师伴你行SANPINBOOK8.空间向量基本定理定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z}，使得.由此可知，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.返回目录p=xa+yb+zc{p

30、p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}a,b,

31、c名师伴你行SANPINBOOK9.空间向量的正交分解及其坐标表示设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量（我们称它们为单位正交基底），以e1，e2,e3的公共起