§5-3z变换的基本性质

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1、§5-3Z变换的基本性质一、线性设有z变换对则有序列组合后,其z变换的收敛域一般会变小。例如:其z变换其中收敛域所以收敛域收敛域例如:其中u(n)的z变换收敛域其中u(n-1)的z变换收敛域而δ(n)的z变换收敛域在整个z平面。如果,序列各部分z变换的和,有零极点相抵消的情况,序列z变换的收敛域可能增大。二、位移性z变换的位移性相当于拉氏变换的时域微分性,特别是单边z变换的位移性,主要应用于差分方程的求解。1、双边z变换的位移性:设序列及其z变换序列移位后的z变换从上可以看出,序列位移后其z变换除增加了原点或无穷远处的极点外,收敛域不发生变化。例如:δ(n

2、)的z变换等于1,其收敛域为整个z平面;δ(n-m)的z变换等于z-m,收敛域是除去原点外的z平面。双边z变换的位移性,不管是左移还是右移,其性质的表示式是一样的。2、单边z变换的位移性:单边z变换的位移性,在序列是因果的与非因果,左移还是右移时,其表示式是不同的。单边z变换的定义式是:⑴因果序列:x(n)=x(n)u(n)i、右移:x(n-m)=x(n-m)u(n-m)ii、左移:x(n+m)=x(n+m)u(n+m)以上结果可以这样解释:当序列右移时,相对于原序列在求单边z变换时没有增加,也没有减少任何样值信息,所以其表示式与双边z变换的表达式相同。而

3、当序列左移时,相对于原序列在求单边z变换时,减少了样值信息,因此应该减去这些样值对应的信息。例如:x(n)=u(n),其z变换等于则x(n-m)=u(n-m),其z变换等于则x(n+m)=u(n+m),其z变换等于这应该与想象的结果一致:u(n)左移后的单边z变换不变。ii、左移:x(n+m),与因果序列单边z变换的表达式一样。⑵非因果序列:x(n)可能是有始的,也可能是双边的。i、右移:x(n-m)以上结果也可以解释为:当序列右移时,相对于原序列在求单边z变换时增加了m个样值信息,所以其表示式应该在原序列单边z变换的基础上,加上这m个样值的信息。序列左移

4、与前所述相同。在利用单边z变换求解差分方程时,输入序列往往设定为n=0时刻作用于系统的,因此输入序列被看成是因果序列。输出序列不仅有零状态分量,还有零输入分量,因此输出序列被看成是非因果序列。例如:差分方程与输入序列x(n)及y(-1)如下,试求输出序列y(n)的z变换。解:对方程两边同求单边z变换三、z域微分性设序列及其z变换z域微分性是z域微分性由z变换的定义式很容易证明。可以证明K次相同运算记作例如:四、z域尺度变换设序列及其z变换则有例如:五、反褶与共轭设序列及其z变换则有例如:六、时域扩展设序列及其z变换则有当七、卷积定理设序列及其z变换1、时域

5、卷积定理2、z域卷积定理例如:已知序列及其z变换八、初值与终值定理z变换的初值定理,是对单边z变换而言的。即设序列及其单边z变换为则有初值定理z变换的终值定理,是对序列是因果的,且其终值存在。于是有例如:于是

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