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1、2中等数学●数学活动课程讲座●面积方法在解题中的应用徐婉萍(浙江省宁波市鄞州区董玉娣中学,315101)(本讲适合初中)BD,CG⊥BD,垂足为F、G.面积方法是利用面积知识解决问题的一AFAE则AF∥CG,有=.种方法.由于一个图形(尤其是三角形)面积CGCE的计算方法不唯一,因此,可以通过对同一图1BD·AFS△ABD2AFAE形面积的不同算法(算两次),导出需要的代故===.S△BCD1CGCE数或几何关系式,使问题获解,此即面积方法2BD·CG的基本思路.本文就面积方法在解几何题中注:此结论被称为“共边比例
2、定理”.的应用作一介绍.例2如图2,在△ABC中,D为AB上1三角形面积的计算公式的点,E为AC上的点.设△ABC三边BC、CA、AB的长分别为求证:a、b、c,对应边上的高为ha、hb、hc,外接圆、S△ADEAD·AE=.a+b+cS△ABCAB·AC内切圆半径分别为R、r,p=.则2S△ADE图2证明:111S△ABCS△ABC=aha=bhb=chc22211112AD·AEsinAAD·AE=absinC=bcsinA=acsinB==.2221AB·ACAB·ACsinAabc22=rp==2RsinA
3、·sinB·sinC4R注:本题的结论被称为“共角比例定理”.=p(p-a)(p-b)(p-c).例3如图3,在注:此结论被称为海伦公式.△ABC中,D为边BC上的点,∠BAD=α,2几个重要的几何定理∠CAD=β.求证:利用面积法“算两次”可以导出一些重要sinβsinα图3+的几何定理.ABAC例1如图1,=sin(α+β).AD在四边形ABCD中,证明:由S△ABD+S△ACD=S△ABC,得AC与BD交于点E.11求证:AB·ADsinα+AC·ADsinβ22S△ABDAE=.1S△BCDCE=AB·AC
4、sin(α+β).2图1证明:作AF⊥1两边同除以AB·AC·AD即得证.2收稿日期:2008-02-21©1994-2008ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net2008年第5期3注:本题的结论被称为张角公式.AEbbc则=,即AE=.例4如图4,设Pca+ba+b是△ABC内一点,AP、故BE=c-AE=ac.a+bBP、CP与对边分别交1abc于D、E、F.求证:于是,S△CBE=2
5、BE·b=2(a+b).AF·BD·CECFaa+b=1.而==,故FBDCEAFEBEc图4证明:注意到CFa+bS△CBFa+b=,=,AFS△ACFS△APFCEa+b+cS△CBEa+b+c==FBS△BCFS△BPFabcS△BFC=.S△ACF-S△APFS△APC2(a+b+c)==.①S△BCF-S△BPFS△BPCbc同前面类似的算法可得AD=.a+cBDS△APB同理,=,②11bcbcDCS△APC则S四边形BCDE=bc-··22a+ca+bCE=S△BPC.③abc(a+b+c)EAS△A
6、PB=2(a+b)(a+c).222①×②×③即得证.注意到a=b+c,则2注:本题的结论被称为塞瓦定理.S四边形BCDE(a+b+c)=S△BFC(a+b)(a+c)3范例选讲222a+b+c+2ab+2bc+2ca=2a+ab+ac+bc3.1与面积有关的问题22a+2ab+2bc+2ca例5△ABC的三条边a、b、c满足=2=2.a+ab+ac+bc1≤a≤3≤b≤5≤c≤7.3.2证明与边有关的关系式求△ABC面积最大时,它的周长.等高(等底)的两个三角形面积比就是它解:注意到们对应底边(高线)之比,因此,
7、有时边的关系111式可以转化为面积的关系式.S△ABC=absinC≤ab≤×3×5,222例7如图6,在当且仅当a=3,b=5,∠C=90°时,等号成△ABC中,AB=AC,D为22立.此时,c=a+b=34满足5≤c≤7.BC上一点,E为边AD上一点,且满足∠BED=2因此,当a=3,b=5,c=34时,△ABC∠CED=∠BAC.求证:的面积最大.此时,其周长为8+34.BD=2CD.例6如图5,在证明:注意到图6Rt△CAB中,∠A=∠BED=∠ABE+∠BAE,90°,∠B、∠C的平∠BAC=∠CAE+∠
8、BAE.分线交于F,且分别而∠BED=∠BAC,故∠ABE=∠CAE.交对边于点D、E.求BDS△ABE于是,=S四边形BCDE∶S△BFC.图5DCS△ACE解:设AB=c,AC=b,BC=a.1AB·BEsin∠ABE2BE由内角平分线性质有==.1AEAEb2AC·AEsin∠CAE=.EBa©1994-2008ChinaAcademicJournal
