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1、.利用对称性简化第一类曲面积分的计算学号:作者姓名:学院：专业班级:导师姓名:..利用对称性简化第一类曲面积分的计算摘要曲面积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些曲面积分的计算过程中,若能利用对称性,则可以简化曲面积分的计算过程.本文介绍了几种常见的有关对称性在两类积分计算中的几个重要结论,并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化曲面积分的计算方法.关键词:曲面积分;积分区域;奇偶性;对称性预备知识为了使全文连贯,我们将在本章列出以下几个定义和相关的性质.定义1设平面区域为,若对均有,则称关于直
2、线对称,点与是关于的对称点.若对均有,则关于直线对称,与是关于的对称（显然当,时分别关于,轴对称）.定义2设平面区域为,若对均有,则称关于对称,点与是关于的对称点.若对均有,则称关于直线对称.注释:空间区域关于平行于坐标面的平面对称;平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称;空间曲面、空间曲线关于平行于坐标面的平面对称,也有以上类似的定义.定义3设函数在空间曲面上有定义,若对均有..,且,则称关于为偶函数;若对均有,则称关于为奇函数;类似可以定义函数关于,变量的奇偶性.利用对称性简化曲面积分的计算一．利用对称性简化计算第
3、一类曲面积分1第一类曲面积分的定义定义：设曲面为有界光滑（或分片光滑）曲面,函数在上有界.将曲面用一个光滑曲线网分成片小曲面,,···,,并记的面积为.在每片上任取一点,作和式.如果当所有小曲面的最大直径趋于零时,这个和式的极限存在,且极限值与小曲面的分法和点的取法无关,则称此极限值为在曲面上的第一类曲面积分,记为,即,其中称为被积函数,称为积分曲面.2第一类曲面积分对称性定理定理1：设在分片光滑的曲面上连续.若关于面对称,则..其中为在面上方的部分.若关于平面（或平面）对称,关于（或）为奇函数或偶函数也有类似的结
4、论.定理2：若积分曲面关于,,具有轮换对称性,则.3.第一类曲面积分对称性定理的应用例1计算曲面积分,其中为球面上的部分.解:利用定理1知设={},则...例2：计算,为锥面被曲面所截下的部分.解:因为关于面对称,被积函数中与都是的奇函数,由定理1.又因为,,所以原式.例3.计算曲面积分,其中:.解:令:,.则,..,.关于原点对称,且被积函数分别为关于的偶函数,则根据定理1得,.例4.计算曲面积分,其中是球面.解:如果按照常规方法来解,计算量比较大,如果利用对称函数的特性,非常简捷.因为球面关于,,具有轮换对称性
5、,所以根据定理2得,...总结本文运用对称性和积分学中的有关知识,在前人研究的基础之上,对于利用对称性简化曲面积分中的计算进行了探讨,由此可见,上述关于曲面积分对称性的定理对于在特殊情况下简化曲面积分的计算是非常有效的,所以在解题过程中注意积分区域是否有某种对称性以及被积函数是否与之相匹配的奇、偶性,则可减少一些繁琐的计算,提高解题效率....
