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1、2007.12(中旬刊)理工科研利用对称性简化曲面积分的计算□徐海娜[1][2]([1]浙江海洋学院浙江·舟山316000;[2]扬州大学江苏·扬州225009)中图分类号:O13文献标识码:A文章编号:1672-7894(2007)12-211-02众所周知,曲面积分的计算比较繁琐,但若能利用对称性,有时于yoz面对称.就可以简化计算,应用中一般分两方面讨论(1)利用积分曲面的对又被积函数中xy+zx在"上为关于的x奇函数,yz在"上为称性和被积函数的奇偶性简化曲面积分的计算;(2)利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计
2、算。有时候两种对称性可以适当结合起来,使曲面积分计算更加简化。为简化叙述,我们假定关于x的偶函数,所以有定理1,!!(xy+zx)ds=0!!yzds=2!!yzds,故以下涉及到的积分都是存在的。""Σ1为了节省篇幅,下面给出的定理、推论均不给出证明。一、利用积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性原式=2!!yzds定义1设函数f(x,y)定义在二维光滑曲线上Σ1(1)若f(x,y)满足关系式f(-x,y)=f(x,y)或f(x,-y)=f(x,y),则称f(x,y)22x2x2又ds=x2+y2+zdxdy=1++dxdy=(2((
3、1+zxx(x2+y2x2+y2为关于x或y的偶函数.(2)若f(x,y)满足关系式f(-x,y)=-f(x,y)或f(x,-y)=-f(x,y),则称f(x,y)为dxdy∴2+y22+y2关于x或y的奇函数.定义2设函数f(x,y,z)定义在三维光滑曲面上原式2!!y(x(2dxdy=2(2!!y(xdxdyDLxyDLxy(1)若f(x,y,z)满足关系式f(-x,y,z)=f(x,y,z)或f(x,-y,z)=f(x,y,z)或fπ(x,y-z)=f(x,y,z),则称f(x,y,z)为关于x或y或z的偶函数.x=rcosθ
4、22sinθπ(2)若f(x,y,z)满足关系式f(-x,y,z)=-f(x,y,z)或f(x,-y,z)=-f(x,y,z)令)(0≤θ≤)原式=2(2!sinθdθ!y=rsinθ200π或f(x,y-z)=-f(x,y,z),则称f(x,y,z)为关于x或y或z的奇函数.2定理1:设分片光滑曲面Σ关于xoy(或yoz或zox)坐标面对r3dr=8(2!sin5θdθ=8(24!!=4×2×8(2=64(205!!5×3×115称,(Σ1是Σ位于对称坐标面一侧的部分)则#0,f(x,y,z)为关于z(或x或y)的奇函数例2计算曲
5、面积分!!x8(a2-x2-y2ds其中":x2+y2+z2=a2.%!!f(x,y,z)ds=$2f(x,y,z)ds,f(x,y,z)数"!!为关于z(或x或y)的偶函%解.令"2+y2+z2=a2,0≤x≤a,0≤y≤a,0≤z≤a"&Σ11:x推论:1.1设分片光滑曲面Σ关于原点对称,则则D2+y2≤a2,0≤x≤a,0≤y≤a1:x#0,f(x,y,z)为关于z(或x或y)的奇函数22ads=1+z+zdxdy=dxdy%(xxa2-x2-y2!!f(x,y,z)ds=’8f(x,y,z)ds,f(x,y,z)数(!!为关
6、于z(或x或y)的偶函%Q"8a2-x2-y2"&Σ1关于原点对称,且被积函数f(x,y,z)=x(为关于(x,(其中Σ1为第I卦限部分)y,z)的偶函数,定理2:设分片光滑的有向曲面Σ关于坐标面yoz(或xoz或由推论1.1,x8a2-x2-y2x8a2-x2-y2x8dsdy=8axoy)对称,Σ在坐标面yoz前半空间的部分曲面Σ1取定前侧,在!!(ds=8!!(ds=8a!!!后半空间的部分曲面Σ2取定后侧(或在坐标面xoz右半空间的部""1D1分曲面Σ1取定右侧,在左半空间的部分曲面Σ2取定左侧或在坐π2aa107!!π7标
7、面xoy上半空间的部分曲面Σ1取定上侧,在下半空间的部分曲!r9cos8θdrdθ=8a!cos8θdθ!r9dr=8a·=πa11面Σ取定下侧),则00108!!2642D1#0,f(x,y,z)为关于x的偶函数%例:计算曲面积分I=!!ydydz-xdzdy+z2dxdy,其中"为锥面z=!!f(x,y,z)dydz=’2!!f(x,y,z)dydz,f(x,y,z)为关于x的奇函数%""Σ1&x2+y2(在平面z=1与z=2之间的外侧.#0,f(x,y,z)为关于y的偶函数%解.Q"关于yoz、xoz对称而P(x,y,z)=y
8、为关于x的偶函数,Q=或!!f(x,y,z)dydz=’2!!f(x,y,z)dydz,f(x,y,z)为关于y的奇函数%"&Σ1(x,y,z)=-x为关于y的偶函数,∴由定理2得!!ydydz-xdzdy=0∴I=!!#0,f(x,
