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《第四届丘成桐中学数学奖获奖论文－Euler-Maclaurin公式的推广及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Euler-Maclaurin公式的推广及其应用参赛队员景琰杰指导老师施洪亮学校华东师范大学第二附属中学1摘要本文首先用一种不同于常见文献中的方法重新证明了Euler-Maclaurin公式,然后为了后面的工作,给出了关于Bernoulli数的一些恒等式.在第三部分本文用这一公式给出了一些常见的求和式的计算.在第四部分,本文用类似的方法得到了其他一些递推关系的级数解,推广了Euler-Maclaurin公式.在第五部分,本文叙述了一些把级数转化成定积分的例子.在第六部分,本文继续利用Euler-Maclaurin公式
2、给出了处理一些级数的例子,得出了一些求和式的阶.个人认为本文最有意义的讨论在第一、第四、第五、第六部分.2引言在18世纪,Euler和Maclaurin分别独立地得到了一个求和公式.它立刻成为分析中很重要、很强有力的一个工具,之后围绕它展开的研究络绎不绝,极大地丰富了分析的内容.他们的这个公式最早是应用于级数的求和,包括给出求和式的阶(甚至是渐近级数).本文用一种不同的方法重新证明了它，并作了初步的推广,之后讨论了它的一些应用.定义称f(x)的差分为Δf(x)=f(x+)1−f(x).如果存在一个函数F(x)使得F(
3、x+)1−F(x)=f(x),则称F(x)为f(x)的反差分,记为∑f(x)Δx.易知如果F(x)是f(x)的[1]反差分,则F(x)+C也是,其中C是一个周期为1的函数(包括常数),反过来也成立.易知xnxnxn∑f(x)=∑(F(x+)1−F(x)))=F(xn+)1−F(x0,称为f(x)的求和,记为∑x0f(x)Δx.易知一x=x0x=x0个函数确定了上下限的求和是唯一的.正文1.Euler-Maclaurin公式的证明现在我们用分析工具来处理求和式的计算.nndx+1(n+)1(x+1−t)x+1(n+)2
4、(x+1−t)引理1:∫f(.t)dt=∫f(t)dtdxxn!xn!证明:nnndx+1(n+)1(x+1−t)1⎛x+Δx+1(n+)1(x+Δx+1−t)x+1(n+)1(x+1−t)⎞∫xf(t)dt=Δlimx→0⎜⎜∫x+Δxft)(dt−∫xft)(dt⎟⎟dxn!Δx⎝n!n!⎠nn1⎛x+Δx+1(n+)1(x+Δx+1−t)x+Δx+1(n+)1(x+1−t)⎞=Δlimx→0⎜⎜∫x+Δxf(t)dt−∫x+Δxf(t)dt⎟⎟Δx⎝n!n!⎠nn1⎛x+Δx+1(n+)1(x+1−t)x+1(
5、n+)1(x+1−t)⎞+Δlimx→0⎜⎜∫x+Δxft)(dt−∫xft)(dt⎟⎟Δx⎝n!n!⎠nnnx+1(n+)1∂(x+1−t)1⎛x+Δx+1(n+)1(x+1−t)x+Δx(n+)1(x+1−t)⎞=∫xf(t)dt+Δlimx→0⎜⎜∫x+1ft)(dt−∫xf(t)dt⎟⎟∂xn!Δx⎝n!n!⎠n−1nnx+1(n+)1(x+1−t)(n+)1(x+1−t)(n+)1(x+1−t)=∫f(t)dt+limf(t)−limf(t)x(n−1)!t→x+1n!t→xn!nx+1n(n+)1n(n+
6、)1(x+1−t)x+1(n+)2(x+1−t)f(x)x+1(n+)2(x+1−t)=−f(t)+∫f(t)dt−=∫ft)(dt.n!xn!n!xn!x3定理1(Euler-Maclaurin):如果f(x)存在所需阶导数,则kNbn(n−)1(n−)1∑f(x)=∑(f(k+)1−f1())+RN,其中RN为余项.x=1n=0n!证明:由Taylor公式,(n)nf′′(x)2f(x)nx+Δx(n+)1(x+Δx−t)f(x+Δx)=f(x)+f′(x)Δx+Δx+…+Δx+∫f(t)dt.!2n!xn!(n
7、)nf′′(x)f(x)x+1(n+)1(x+1−t)取Δx=1,得f(.x+)1=f(x)+f′(x)++…++∫f(t)dt!2n!xn!(n)nf′′(x)f(x)x+1(n+)1(x+1−t)f(.x+)1−f(x)=f′(x)++…++∫f(t)dt!2n!xn!(n)(n+)1f′′(x)f(x)x+1f(t)n设f(x+)1−f(x)=g(x),则g(x)=f′(x)++…++∫(x+1−t)dt.!2n!xn!(n+)1nf′′′(x)f(x)x+1(n+)2(x+1−t)在上式两边对x求导,得g′(
8、x)=f′′(x)++…++∫f(t)dt!2n!xn!(n)n−1f′′′(x)f(x)x+1(n+)1(x+1−t)=f′′(x)++…++∫ft)(dt.!2(n−1)!x(n−1)!(n)nn−11f′′′(x)2(−n)f(x)x+1(n+)1⎛(x+1−t)(x+1−t)⎞则g(x)−g′(x)=f′(x)−+…++∫xft)(⎜⎜
