第二讲幂、指数和对数函数

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1、第二讲幕.指数和对数函数【高考要求】（1）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数.（2）理解幕、分数指数的概念，掌握有理指数幕的运算性质.幕函数与指数函数的概念、图像和性质.（3）理解对数的概念，掌握对数的运算性质.学握对数函数的概念、图像和性质.（4）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.【复习建议】1.认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质①函数的表示方法除解析法外还冇列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；②中学数学中的“止、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函

2、数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的.要把基本初等函数的图象和性质联系起來，并且理解记忆；③掌握函数中调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等；⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄淸互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。2.以函数知识为依托，渗透慕木数学思想和方法①数形结合的思想，即要利用函数的图象解决问题；②建模方法，要能在实际问题中引进变量，

3、建立函数模型，进血提高解决应用题的能力，培养函数的应用意识。【知识点梳理】幕函数幕函数的定义一般地，函数丿=尢。叫做幕函数，其中兀是自变量，Q是常.【总结】⑴幕函数的图象都过点:幕函数的图象过.（2）当a〉0时，幕函数在［0,+00）±；当a<0nt,幕函数在（0,+oo）上；（3）任何幕函数都不过象限；⑷幕函数的图象在第一象限的分布规律：①在经过点（1,1）平行丁轴的直线的右侧，按幕指数由小到大的关系幕函数的图象从到分布；②幕指数的分母为偶数时，图象只在象限；幕指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于対称；幕指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于对称

4、.【例1】（1）已知幕函数y=/（x）的图彖过点（2,血），则这个函数的解析式为：=肿口.关于y轴对称,(2)已知幕函数f(x)=xni2~2,n~3(meZ)的图象与兀轴、丁轴都无交点,则这个函数的解析式为：・m2-2m-3<0(2)解：由"加2—2加一3是偶数，斛•得：加=一1,1,3.meZm=-1和3时解析式为f(x)=x°,m=1时解析式为f(x)=x4.当m=—1和3时，f=x°.当皿=1时，f(x)=x4.【例2】.(1)下列函数中既是偶函数乂是(-00,0)±是增函数的是(C)⑶下列命题中，正确命题的序号是4A.y=B.4(2)函数y=兀亍的图彖是(A3

5、14①当&=0吋函数)y护的图象是一条直线；②幕函数的图彖都经过(0,0)和(1,1)点；③若幕函数y=产是奇函数，则)，=*是定义域上的增函数；④幕函数的图象不可能出现在第四象限.⑷如图1_9所示，幕函数y=在第一象限的图象，比较0,cz15(72,6Z3,a4,l的大小(D)a.a}<l0

6、b>Q贝U。与b的关系是(A)A.h-2C.m<-1D.m>-1【例4】设函数f(x)=Q・2'+d-2为奇函数.求：2X+1(1)实数a的值；(2)川定义法判断f(x)在其定义域上的单调性._2r+A【对应训练】已知定义域为R的函数/(兀)=巧+是奇函数.(1)求a、b的值；⑵若对任意的tGR,不等式f{t2-k)<0恒成立，求k的取值范围.解：(1)8=2,b=l.(2)由(1)知f(x)=2上=_£+詁山上式易知f(x)在(

7、一8,+°°)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).1大If(x)是减函数，山上式推得t2-2t>-2t2+k,即对一切teR有3t2-2t-k>0.从而判别式A=4+12k<0,解得k〈一+【例5】f(x)=2x-^.(1)若f(x)=2,求x的值；(2)若2丁⑵)+吋⑴三0对于t€[1,2]恒成立，求实数加的取值范围.对数与对数函数对数的运算法则：若日>0,日Hl,』/>0,A>0,贝I」⑴lognb=log,,bn(d>0,a