不等式二次函数(含答案)

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1、不等式20150902初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法.高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识.本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识.一、一元二次不等式及其解法1.形如o?+加+c>0(或<0)(其中。工0)的不等式称为关于兀的--元二次不等式.2.—元二次不等式ax2+Z?x+c>0(或<0)与二次函数y=ax2+bx+c(qhO)及元二次方程cue2+bx+c=0的关系(简称：三个二次).以二次函数y=x2+x—6为例:(1)作出图象；(2)根据图象容易看到，图象■兀轴的

2、交点是(—3,0),(2,0),即当兀=一3或2时,y=0.就是说对应的一元二次方程X+兀_6=0的两实根是x=—3或2.(3)当兀<一3或兀〉2时，y>0,对应图像位于兀轴的上方.就是说x2+x-6>0的解是xv—3或x>2.当一3

3、程有两个不相等的实数根召,兀2(也可由根的判别式△〉0來判断).那么(图1)：

4、ax2+hx+c>0(a>0)u>x<西或兀>x2

5、£1@2①如果图象与兀轴只有一个交点（-—,0），此时对应的一元二次方程有两个相等的实2a数根兀=兀=__L（也可由根的判别式△=（）來判断）.2a厂一;I

6、那么（图2）：[cix~+bx+c〉0（d〉0）x工!I2aIii

7、ax2+加+cv0（q〉0）o无解

8、②如來图象与无轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根（也可由根的判别式△<0来判断）.I1那么（图3）：；ax2+bx+c>Q（

9、a>0）<=>兀取一切实数；IIII

10、ax2+bx+cv0（a〉0）<=>无解

11、如果单纯的解-个一元二次不等式的话，可以按照-下步骤处理：（1）化二次项系数为正；（2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根那么“>0”型的解为xx2（俗称两根Z外）；“<0”型的解为兀

12、vxv兀2（俗称两根Z间）；（3）否则，对二次三项式进行配方，变成。干+加+c二a（兀+2尸+也°—圧,结合2a4a完全平方式为非负数的性质求解.【例】解下列不等式：（1）x2-2x-8<0（2）x2-4x+4<0（3）x2-x+2<0解

13、：（1）不等式可化为（x+2）（x-4）<0・・・不等式的解是—2<%<4（2）不等式可化为（x-2）2<0・・・不等式的解是x=21°7（3）不等式可化为（兀—一r+-0卩〉0[（—2）2—4疋1〉0=松<-1或"1=>【例】已知关于兀的不等式也2_（疋+1）兀_3<0的解为一lvkv3,求R的值.分析：对应的一元二次方程的根是-nil3,n对应的二次函数的图彖开口向上.根据一元二次方程根与系数的关系可

14、以求解.k>Q疋+1解：山题意得：4—1+3=^k=说明：本例也可以根据方程有两根-1和3,用代入法得：£(-1)2-伙2+1)(-1)-3=0,£・32_3伙2+1)_3=0,且注意k>0,从而£=1.三、含有字母系数的一元二次不等式元次不等式最终可以化为cix>b(aH0)的形式.(1)当d>o时，不等式的解为：x>~；ab(2)当GVO时，不等式的解为：x<-；a(3)当a=0时，不等式化为：O・x〉b；①若方〉0,则不等式的解是全体实数；②若b<0,则不等式无解.【例】求关于兀的不等式nrx+2>2mx+m的解.

15、解：原不等式可化为：m(m-2)x>m-2(1)当m-2>0即m>2时，mx>l,不等式的解为x>丄；m(2)当m-2<0即加<2时,mx<1.①02吋，不等式的解为X〉丄；当0x+2的解为求实数£的值.2分析：将不等式整理成

16、Q>b的形式，可以考虑只有当a>0时，才有形如x>-的解,从而令2二.a2解：原不等式可化为：（一比―1）兀>一疋+2.所以依题意:-1>0(k_疋+21詔/=——k-k-2<-1,33=>R=—=1或——22A组1.解下列不等式:(1)2x2+x<0(2)x~—3x—18S0（3）—兀？+兀n3兀+