413导数的概念和几何意义

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1、4.1.3导数的概念和几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率Z间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教奉重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的儿何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：一.创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数尸f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x°附近的变化情况，导数广代)的儿何意义是什么呢？二.新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1・2,当朋丿&))仇赳234)沿着

2、曲线/⑴趋近于点P(x°,/(%))时，割线P代的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现，当点*沿着曲线无限接近点P即Ax-O吋，割线P代趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线比的斜率心与切线PT的斜率R有什么关系？⑵切线PT的斜率k为多少？“/do）p容易知道，割线p无的斜率是心一7TT，当点匚沿着曲线无限XnA0接近点P吋，心无限趋近于切线PT的斜率£,即k=lim念。+心）—/（和山t°Ax说明：（1）设切线的倾斜角为a,那么当△x-0吋，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了

3、求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的木质一函数在x=兀（）处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）耍根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点冇切线，但切线是唯一的;如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（-）导数的几何意义：函数尸f（x）在乂訥处的导数等于在该点（*0J（X0））处的切线的斜率,即广牝）“4弓上如u心toAx说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点兀。处的变化率/Vo）=/(观+心)—/

4、do)Ar至I」曲线在点（兀（）,/（兀。））的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（―）导函数：由函数f（x）在x=xo处求导数的过程可以看到，当时，广（X。）是一个确定的数，那么，当X变化时，便是X的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数.记作：广⑴或V,即:Arr(x)=y=iim/(x+Ar)-/(x)AatO注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.（三）函数于⑴在点X。处的导数广牝）、导函数广（X）、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数广（兀°）,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函

5、数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数3)函数/⑴在点勺处的导数fd°)就是导函数广⑴在x=x0处的函数值，这也是求函数在点兀。处的导数的方法之一。一.典例分析例1:(1)求曲线尸f(x)=x2+l在点P(l,2)处的切线方程.(2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.解：(1)V=2lim[(1+3+1]-(I")=lim2山+心心->o心山toAx所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y-2=2(x-l)即2x-y=0(2)因为y心=1叫3疋—3〒x-1=lim3(x+l)=6xtI所以，所求切线的斜

6、率为6,因此，所求的切线方程为y-3=6(兀-1)即6%--3=0(2)求函数f(x)=-兀2+兀在兀=_1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.△y_(-1+Ax)2+(-1+Ax)-2解：H=1=3_心AxAx心)牛严3哙32吨皿口例2・(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数/z(x)=—4.9%2+6.5%+10,根据图像，请描述、比较曲线力)在山、t2附近的变化情况.W：我们用曲线仇⑴在⑴、人、『2处的切线，刻画曲线加/)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当日。时,曲线"(r)在％处的切线％平行于兀轴，所以

7、，在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当时,曲线力(/)在片处的切线厶的斜率//(0

8、化的图彖.根据图像，估计/=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬吋变化率(精确到0.1)・c(mg/mL)口1.01—0.30.20.