(第1讲)集合的概念与运算

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1、题目：第一章集合与简易逻辑“„集合的概念与运算高考要求：1.理解集合、了集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.3.理解逻辑联结词“或”非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.知识点归纳：定义：一组对象的全体形成一个集合.特征：确定性、互界性、无序性.表示法：列举法｛1,2,3,…｝、描述法｛x

2、P｝.韦恩图分类：有限集、无限集.数集：自然数集N、整数集Z、冇理数集Q、实数集R、正整数集N*、空

3、集e.关系：属于丘、不属于纟、包含于匸（或U）、真包含于客、集合相等=.运算：交运算AQB=｛x

4、xWA且xWB｝；并运算AUB=｛x

5、xWA或xGB｝;补运算CuA=｛x

6、x^A.Rxeu｝,U为全集性质：AcA；4）cA；若A^B,BcC,则AeC；AClA=AUA=A；AQ（l）=d）；AU（1）=A；AAB=A<=>AUB=B<=>AcB；AQC〃A=4）；AUC〃A=I；C〃（C〃A）=A；"（AuBTCuAEqB）.方法：韦恩示意图，数轴分析.注意：①区别丘与蚩、去与匸、a与｛a｝、<1）与｛"｝、｛（1,2）｝与｛1,2｝；②AcB时，A有两种情况：A=4）与A

7、HA③若集合A中冇N）个元素，则集合A的所冇不同的了集个数为2”，所冇真子集的个数是2”・1,所冇非空真子集的个数是2”-2。④区分集合中元素的形式:女IIA=｛xy=x2+2x+｝;B=｛『丨）'=/+2x+1｝:C=｛（X,y）

8、j=x2+2x+1｝;D=｛x

9、x=x2+2x+1｝;E=｛（x,y）y=x2+2x+l,xeZ,yeZ｝;F=｛（x,y1）

10、y=x2+2x4-1｝:G={zy=x2+2x--l,z=—}ox②空集是指不含任何元索的集合。{0}、0和{0}的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为AUB,△二蚀现③

11、符号“w用”是表示元素与集合z间关系的，立体几何中的体现点与直线(而)的关系；符号“0,0”是表示集合与集合z间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。题型讲解：例1已知A={4r'+3/+2x>0},B={xx2+ax+b^：0}且AQB={x

12、0-2},求°、b的值.解：A={x~20},设B=［兀］,也］，由ACB=(0,2］知兀2=2,且一lWxiWO,①由AUB=(-2,+8)知一2Wx］W—l.②由①②知兀1=—11兀2=2,・・。=—(七+疋)=—1,/?=兀］兀2=—2.评述:本题应熟悉集合的交与并的涵义

13、,熟练掌握在数轴上表示区间(集合)的交M并的方法.例2设集合F={〃7

14、—1<加WO},Q={inR

15、wx2+4/77x—4<0对任意实数x恒成立},则下列关系中成立的是A.PWQB.Q^PC.P=QD.PHQ=Q剖析：Q={mWRmx2+4fnx—4<0对任意实数x恒成立},对m分类：①加=0时，一4<0恒成立：②加V0时，需力=(4/n)2-4X/nX(-4)<0,解得-l

16、・1<加W0}.答案:C评述：本题容易忽略对加=0的讨论，应引起大家足够的更视.例3已知集合A={(x,y)

17、?+mx-y+2=0},B={(x

18、,y)

19、x-y+l=O,0WxW2},如果ADBH0,求实数加的取值范围.剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在木题屮只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx—y+2=0与线段x~y+}=0(0WxW2)冇公共点，求实数加的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.解：由［_?+处_y+2",得x-y+1=0(0

20、1.当m3时，由x+x2=—(加一1)<0及心2=1知，方程①只有负根，不符合要求；当/nW—1时，由％i+x2=—(加一1)>0及乳仏2=1>0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0,1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0,2］内.综上所述，所求加的取值范围是(一8,—1］•评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+/nx—y+2=0与线段x—y+=0(0WxW2)的公共点在线段上，本题也川以利用公共点内分线段的比入的取值范国建立关于m的不等式来解.例4设A={xx