成贤高数(上)期终试卷参考答案

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1、成贤学院高等数学(上)期终试卷参考答案（04级）一、填空题（）1．设，则.2．设，则.3．若在上连续，且，则.4．.5．线性微分方程的一个特解(形式)为.二、单项选择题（）1．设，则为（C）（A）0；（B）；（C）1；（D）2.2．若的导函数是，则有一个原函数为（B）（A）；（B）；（C）；（D）.3．设线性无关的函数为二阶线性非齐次方程的三个特解，则对应齐次方程的通解为（B）（A）；（B）；（C）；（D）.4．若积分，则I之值（C）5（A）依赖于s，t，x；（B）依赖于t和s；（C）依赖于t，不依赖于s；（D）依赖于s，x.

2、三、（）1．求.解：.2．求.解：.3．求微分方程,满足条件的特解.解：，代入条件，得，故所求特解为.四、（）1．求正的常数a，使等式成立.5解：2．求由心脏线与圆围成的阴影部分的面积A.解:得两曲线的交点和.3．求由曲线，，所围成的图形绕直线旋转，所得旋转体的体积V.解法1(薄壳法):解法2(切片法):五、（）设二阶可导，且满足方程，求.解：，.，即，.，令，则得初值问题：.5特征方程为，，故方程对应的齐次方程的通解为.由观察可知，方程的一个特解为，∴方程的通解为，代入初始条件，得，∴.六、（）设在上连续，且单调减少，证明：

3、当时.证法1（利用积分中值定理证明）∵，∴.∵，∴证法2（利用变量代换，使积分限相同来证明）∵，，∴.∵在上，∴..证法3（利用定积分的性质和不等式的性质来证明）（因），5（因），故，，，.证法4（利用单调性和变上限积分证明）令，则，.已知在上单调减少，所以（1）当时，.（2）当时，.证法5（证明在上的最小值为零）令,得驻点，则已知在上单调减少，所以，又，故在上最小值为0，从而5