成贤教材-高数B下§7.4 平面方程

《成贤教材-高数B下§7.4 平面方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§7.4平面方程空间的曲面和曲线可以看作是满足一定条件的点的轨迹。：（1）都满足方程；（2）不在都不满足方程，则方程的方程，程的图形。7.3.1平面的点法式方程与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。，，。解：，，，。∵，，∴，①方程①点法式方程。例1．求过点且垂直于向量的平面方程。解：取为法向量，由平面的点法式方程得所求平面的方程：，即。例2．求坐标平面的方程。解：∵，故取为法向量，又∵面过原点，∴所求方程为，即面的方程为。同理，面的方程为；面的方程为。7.4.2平面的一般方程11将方程①展开得：，令，则有。②

2、这是方程，所以平面可用方程来表示；反之，不全为零时，方程②一定表示一个平面。取方程②的一组解，则有③②-③得：，它表示过点，且以为法向量的平面。方程②称为平面的一般方程。注意：在平面解析几何中，一次方程表示一条直线；在空间解析几何中，一次方程则表示一个平面。下面讨论方程②的特殊情况。1．通过原点的平面方程表示通过原点的平面；2．平行于坐标轴的平面当时，方程；∵平面的法向量为与垂直，∴方程。当时，方程；当时，方程。3．通过坐标轴的平面，方程；，方程；，方程。114．平行于坐标平面的平面，方程；∵平面的法向量，∴方程

3、。，方程；，方程。平面的截距式方程设平面与坐标轴分别交于，，三点，其中。求平面的方程。设平面方程为，则有，，，，，。∴，化简得。④方程④称为平面的截距式方程，称为此平面在，，轴上的截距。例3．，且与平面：，。解：方法1：设，其法向量为，法向量为。∵，∴有，，又∵，∴，∴，即，∴，，。为，即。方法2：设，。∵，=，∴，，11故可取，取定点为代入点法式，：，即。例4．的平面方程。解：方法1：设所求平面的方程为，其法向量为，平面的法向量为，∵，∴·，，∴，即为所求的平面方程。方法2：设所求平面的法向量为，平面的法向量为

4、，∵，，∴可取=，取定点为，代入点法式，得所求平面的方程：，即。平面的三点式方程已知平面上不共线的三点，，，求平面方程。解：设为平面上任一点，作向量，，，则，即.7.4.3有关平面的一些问题111。两平面的夹角两平面法向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。设两平面为：，：，法向量分别为，，它们的夹角应是或两者中的锐角，故，则平面；平面∥。例5．求两平面与的夹角。解：、，，。2.点到平面的距离设是平面外一点，求点到这平面的距离。解：在平面上任取一点，，则从，即.∵，∴11∵在平面上，∴，∴。例6．求点到平面的距

5、离。解：。§7.5直线的方程7.5.1直线的方程以下任何一种情形,都唯一确定一条直线：（1）作为两个相交平面；（2）；1.直线的一般方程当空间直线L作为两个相交平面：，：，的交线时，方程组⑤就表示交线的方程，⑤式称为空间直线的一般方程。例如：方程组，，分别表示、。O2.直线的标准方程（或点向式方程）与直线平行的非零向量称为直线的方向向量。设直线L过点，方向向量为，是L上任意一点，则，11由∥，得，⑥⑥式称为直线的标准方程或点向式方程。直线的任一方向称为直线的一组方向数。当中有一个为零，例如，则⑥应理解为；当中有两

6、个为零，例如，则⑥应理解为3.直线的参数方程在直线方程⑥中，设，则有，⑦方程组⑦称为直线的参数方程。直线的点向式、参数式、一般式方程之间的互化由直线的点向式方程容易得出参数式方程。反之，由参数式方程显然能直接写出点向式方程。把点向式方程的连等式写成两个方程，即便是直线的一般式方程。把一般式方程化为点向式方程，归结为在直线上找出一确定点和求出直线的方向向量。例7．用点向式方程及参数方程表示直线。解：（方法1）先求直线上的一点，令代入原方程组得，，即点在直线上。再求直线的方向向量11。由于两平面的交线与这两平面的法向

7、量和都垂直，故取，∴直线的点向式方程为。（方法2）方程组中分别消去，得，即，写成连等式，便得点向式方程：，即。（方法3）在直线上取两点，，则直线的方向向量为。∴直线的点向式方程为，即。令上式比值为，得直线的参数方程：。4.直线的两点式方程求过点，的直线的方程。解：设所求直线的方程为，∵，∴可取，故所求直线方程为。⑧方程⑧称为直线的两点式方程。7.5.2关于直线与平面的一些问题1.直线与平面的位置关系11两直线方向向量的夹角（通常指锐角）称为两直线的夹角。设有两直线和的方向向量分别为，，则它们的夹角应是或两者中的锐

8、角，故，即2.空间两直线的位置关系设有两直线，，，，为方向向量，为方向向量。（1）∥∥，（2）；（3）；（4）；（5）。例8．直线L过点且与直线和都相交，求直线L的方程。解：设L的方程为，，则，，。，，，，，11，解得，故L的方程为，即。3、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角（），称为直线与平面的夹角。当直线与平面垂直时，规定直线与平面