高中数学第二讲证明不等式的基本方法21比较法课堂导学案新人教A版选修4-5

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1、2.1比较法课堂导学三点剖析一，作差法证明不等式【例1】⑴已知正数a,b,c成等比数列，求证:a2-b2+c2^(a~b+c)2;(2)设a,bE.R,求证：J+b空2(a-b~l).思路分析:证明不等式，通常可以看作是比较两式大小的问题.⑴证明：Tac二b[b>0,b=y[ac.a2-b2+c2-(a-b+c)2=a2-b2+c2-a2-b2-c2+2ab-2ac+2bc=2ab-2b-2ac+2bc=2ab-4b2+2bc=2b(a-2b+c)=2b(V^~Vc)220..a2-b2+c2&(a-b+c)2.(2)证明:Va2+b-2(a-

2、b-l)=a2+b-2a+2b+2=a2_2a+l+b'+2b+1=(a-l)2+(b+l)z>0,Aa2+b2>2(a-b-1).温馨提示作差法证明不等式的步骤:作差一变形一判定符号一结论.这里变形的目的是能判断11!差式的符号.为此有分解因式和配方两种变形方式，但是，不是每个问题都可用此两种变形方式•能分解因式确定符号的，配方就不能;不能分解因式的，往往能配方确定符号.各个击破类题演练1已知a,b是正数且aHb,试探讨能否确定J+b"与a2b+ab2的大小？解析:a3+b3-(a?b+ab')=(a3~a'b)-(ab2-b3)=a2(a-b

3、)-b2(a~b)=(a-b)(a2-b2)=(a+b)(a-b)2,Ta,b是正数，.a+b>0.又Va^b,・・・(a-b)2>0.(a+b)(a-b)2>0.a3+b3>a2b+ab2.变式提升1a,b,c满足怎样的条件能使aJb+b2c+c2a

4、)<0,・••要使a2b+b2c+c2ab>c>0,求证:aVbc2c>ab，cbcH,c"b.思路分析:证明这种含有幕指数乘积形式的不等式，往往通过作商与1比较大小较为容易.证明:Va>b>c>0,・・・』W^>o.作陷j^b+cnc+a,+babcb2a-h-ci2b-c-a2c・a・b_a

5、-ba-Cib-Cib-abc-aabbVa>b>c>0,a~b>0,a~c>0,b~c>0,且？〉1,—>1,—>1.bcc:.(*)式大于1.从而a%2bc2c>abtcbc+acaFb・温馨提示一般地，应用求商比较时，要注意两式均为正，若两式均为负时，可用同样的方法比较A英绝对值的大小，即一>1且Babbu.证明:籍”W討.①当a>b>0时，->l,a-b>0,bA(-)a_b>l;h②当O〈a〈b时,0<-l;b③当a=b时,—=1,a~

6、b=O,(—)a_b=l.bb总之,a'b'^aV.变式提升2若a>b>0,求证：N>-―-.a~+b~a+b证明：(作商法)ci1"・・亍+戻二a+b二(d+防2ab.a2-b2a-b三、不等式在实际问题屮的应用【例3】甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半吋I'可以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果niHn,问甲、乙两人谁先到达指定地点？思路分析:设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为b、t2.要回答题屮的问题，只要比较t】、t2的大小就可以

7、了，谁用时较少谁就先到达指定地点.解:设从出发地点至指定地点的路程是s,甲、乙两人走完这段路程所用的吋间分别为心、依题意得—m+—n=s,-^-+—=t2,222m2n・・・—m--nsQn+li)2mn2ss(m+n)tl_t2二m+n2mms[4tnn-(m+n)2]_s(m-n)22Qn+n)mn2(m+n)mnTs、m、n都是正数，且mHn,(m~n)2>0,(m+n)mn>0,即tl-t2^0.从而知甲比乙先到达指定地点.温馨提示实际应用题的特点往往是没有具体数据，给出的一点点数据也是字母.这就需要在求解问题时，设出必要的量，然后用代

8、数式把实际问题表达成纯数学问题•这一过程叫数学建模.数学建模是解答实际应用题的关键.解实际应用问题的困难在于能否顺利地建模.建模的第一步