142《命题与证明》学习导航

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1、14.2《命题与证明》学习导航　　命题与证明涉及平面几何所要研究的基本内容之一，也是以后复杂图形研究的重要基础．在知识学习的同时，命题与证明逐步渗透了推理论证的格式，并介绍了命题的结构和证明的步骤，所以命题与证明也是推理论证的入门阶段，命题与证明的内容是很重要的基础知识，是关系到今后几何学习的重要阶段，是中考考查的热点之一．　　一、知识点回顾　　1.定义、命题、公理和定理的含义．　　(1)定义是揭示一个事物区别于其他事物特征的句子．　　(2)命题：可以判断是正确或错误的句子叫做命题．　　其中正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．　　(3)命题是由题设和结论两部分组成，题设

2、是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这种命题可写成“如果……那么……”的形式．其中用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．　　(4)公理：如果—个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理．　　(5)如果一个命题可从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理．如“三角形的内角和等于180°”等．　　注意：定理是正确的命题，但正确的命题不一定是定理．　　2.定义、命题、公理和定理之间的联系与区别．　　这四者都是句子，都可以判断真假，即定

3、义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．　　3.证明　　(1)根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断—个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．　　(2)证明真命题的一般步骤是：　　①根据题意，画出图形；　　②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；　　③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据．第7页共7页　　命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后

4、的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．　　推论证明的思路和方法．因为它体现抽象思维能力，如果同学们对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对证明的思路和方法的训练是十分必要.　　（1）学习命题与证明主要以对比理解为主，通过比较各种术语之间的异同，理解其内在含义．　　（2）概念辨析法的一般步骤是：①分析研究题目所给条件和问题；②回忆有关概念的内涵和要点；③用概念去辨析题目所给条件与问题；④进行分析、判断、推理，综合得出正确结论．　　（3）证明一个假命题的方法是举一个反例，证明一个命题是真命题，可用分析法、综合法或分析综

5、合法．　　二、思想方法　　灵活运用转化的思维方法是平面几何证明的基本思想方法．如变更发散命题，通过变更命题的形式，力求变换思维角度，多方位思考、多渠道辟径，对于每个知识点挖掘其深邃的内涵，拓展其广阔的外延，从而有利于培养创造性思维能力．　　命题与证明渗透的思想方法还有特殊与一般、逻辑推理思想等.在进行命题的证明时，体会命题证明的必要性，证明的步骤及格式，会根据一些简单的命题画出图形，并结合图形写出已知、求证，进行推理论证，并且会注明每一步推理的理由．　　三、易错点归纳　　1.命题的结论和题设分辨不清　　【例1】　将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.　　(1)同角的余角

6、相等；　　(2)直角都相等．　　［误解］(1)常有以下几种错误改写：　　如果是同角，那么余角相等；　　如果两个角是同角，那么它们的余角相等；　　如果同一个角是余角，那么余角相等．　　(2)常有以下几种错误改写：第7页共7页　　如果是直角，那么相等；　　如果直角等于90°，那么直角都相等；　　如果两条直线互相垂直，那么直角都相等．　　[正解]　(1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；　　(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．　　[剖析与指导]　产生改写错误的主要原因是：(1)在命题的题设和结论不很分明时，分辨不清哪是题设，哪是结论；(2)不能正确地理解一些概念名

7、称，如同角、余角、直角等在叙述命题的语句中的地位和意义：(3)缺乏把简单句变换成复合句的语法知识．　　命题的改写是命题教学的基础，在命题学习中，首先要掌握命题的构造，分清命题的题设是什么？结论是什么？然后才能在这个基础上进行命题的改写．　　对于命题的改写，特别是题设和结论不很分明的命题的改写，应注意以下几点：　　(1)命题的“缩句”练习．命题是判断一件事情的语句．为明确语句中各词语的含义及地位确定这语句中的“主词”和“宾词”，可以进行类似于小学语文中的“缩句”练习．如把命题“同角的余角相等”