2016年高考数学（理）考纲解读及热点难点试题演练 专题18 不等式选讲（学生版）

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1、专题18不等式选讲【2016年高考考纲解读】本讲内容在高考中主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法以及不等式证明问题，其中绝对值不等式的解法常与集合及不等式恒成立等结合在一起综合考查.求解时要注意去掉绝对值符号的方法，绝对值的几何意义以及转化与化归、数形结合思想的应用.高考对本内容的考查主要有：(1)含绝对值的不等式的解法；B级要求．(2)不等式证明的基本方法；B级要求．(3)利用不等式的性质求最值；B级要求．(4)几个重要的不等式的应用．B级要求.【重点、难点剖析】1．含有绝对值的不等式的解法(1)

2、f(x)

3、>a(a>0)⇔f(x)>

4、a或f(x)<－a；(2)

5、f(x)

6、0)⇔－a

7、x－a

8、＋

9、x－b

10、≤c，

11、x－a

12、＋

13、x－b

14、≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质

15、a

16、－

17、b

18、≤

19、a±b

20、≤

21、a

22、＋

23、b

24、.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a

25、1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则()≥(ibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．5汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

26、α

27、·

28、β

29、≥

30、α·β

31、，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．[来源:Z

32、xxk.Com]5．绝对值不等式[来源:学。科。网]

33、a

34、－

35、b

36、≤

37、a±b

38、≤

39、a

40、＋

41、b

42、.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链≤≤≤(a>0，b>0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.【题型示例】[来源:学。科。网Z。X。X。K]题型一　含绝对值不等式的解法【例1】(2015·重庆，16)若函数f(x)＝

43、x＋1

44、＋2

45、x－a

46、的最小值为5，则实数a＝________.【变式探究】(2014·新课标全国

47、卷Ⅱ)设函数f(x)＝＋

48、x－a

49、(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．【命题意图】本题主要考查绝对值三角不等式与基本不等式的应用，含绝对值的不等式的解法，意在考查考生的运算求解能力与分类讨论思想的应用．[来源:学科网]【解题思路】(1)利用“绝对值三角不等式”进行放缩，结合基本不等式即得证．(2)明确不等式后解关于a的绝对值不等式，再分类讨论求解即可．【感悟提升】1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不

50、要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．(2)结合“a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min”求字母参数的取值范围．【举一反三】5汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！(2015·陕西，24)已知关于x的不等式

51、x＋a

52、＜b的解集为{x

53、2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．【举一

54、反三】(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝

55、x＋1

56、－2

57、x－a

58、，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．题型二　不等式的证明【例2】(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是

59、a－b

60、＜

61、c－d

62、的充要条件．【变式探究】(2014·天津，19)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x

63、x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，

64、xi∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t