信号与系统课后答案2

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1、第二章课后题答案课后题答案222-2---1.1.1.1.图题2-1所示电路，求响应u2(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。解其对应的算子电路模型如图题2.1（b）所示，故对节点①，②可列出算子形式的KCL方程为111+u1(t)-u2(t)=f(t)3pp111-u(t)+++pu(t)=0p1p12即1p+1u1(t)-u2(t)=pf(t)32-u(t)+(p+p+1)u(t)=012联解得3u(t)=f(t)=H(p)f(t)22p+4p+4故得转移算子为u(t)32H（p

2、)==2f(t)p+4p+4u2(t)对f(t)的微分方程为(2)p+4p+4u（2t）=3f（t）即2ddu(t)+4u(t)+4u(t)=3f（t）2222dtdt222-2---2222图题2-2所示电路，求响应i(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。解其对应的算子电路模型如图2.2（b）所示。故得f（t）10p+10(ti)==f（t）22p+11p+30´2p1+1.0p+2+2p故得转移算子为(ti)10p+10H(p)==2f(t)p+11p+30i(t)对f(t)的微分方程为2(p+11p+30()ti)=(10p+10)f(t)即2

3、ddd(ti)+11(ti)+30(ti)=10f(t)+10f(t)2dtdtdt222-2---3333--图题2-3所示电路，已知uC(0)=1V,i(0)=2A。求t>0时的零输入响应i(t)和uC(t)。解其对应的算子电路模型如图题2.3（b）所示。故对节点N可列写出算子形式的KCL方程为p13++u(t)=0C2p2又有uc(t)=pi(t)，代入上式化简，即得电路的微分方程为2(p+3p+()2ti)=0+-i0()=i0()=2+-u0()=u0()=1cc电路的特征方程为2p+3p+2=0故得特征根（即电路的自然频率）

4、为p1=-1，p2=-2。故得零输入响应的通解式为(ti)=Aep1t+Aep2t=Ae-t+Ae-2t1212-t-2ti¢(t)=-Ae-2Ae又12+i0()=A+A=2故有12(1)+i¢0()=-A-2A12又因有u(t)=iL¢(t)c++u0()=iL¢0()故cL(-A-2A)=1即12-A-2A=1即12(2)式（1）与式（2）联解得A1=5,A2=-3。故得零输入响应为-t-2t(ti)=5e-3eAt³0又得di(t)d[-t-2t]-t-2tu(t)=L=15e-3e=-5e+6eVt³0cdtdt222-2---4444-图题2-4所示

5、电路，t<0时S打开，已知uC(0-)=6V,i(0)=0。(1)今于t=0时刻闭合S，求t>0时的零输入响应uC(t)和i(t)；（2）为使电路在临界阻尼状态下放电，并保持L和C的值不变，求R的值。解（1）t>0时S闭合，故有+-u0()=iL¢0()=6Vc+-i0()=i0()=0t>0时的算子电路模型如图题2.4(b)所示。故得t>0电路的微分方程为1115.212u(t)=5.2(+p()ti)=5.2(+p)(-pu)=-pu(t)-pu(t)cccc444416即122.5p+p+1uc(t)=0164即2(p+10p+16)u(t)

6、=0c+-uc0()=uc0()=6+-i0()=i0()=02其特征方程为p+10p+16=0，故得特征根（即电路的自然频率）为p1=-2,p2=-8。故得零输入响应uc(t)的通解形式为-2t-8tu(t)=Ae+Aec12-2t-8tu¢(t)=-2Ae-8Ae又有c12-2t-8tCu¢(t)=C(-2Ae-8Ae)故121-2t-8t1-2t-8t-(ti)=(-2Ae-8Ae)=-Ae-2Ae1212即421-2t-8t(ti)=Ae+2Ae12即2故有+u0()=A+A=6c12+1i0()=A1+2A2=02联解得A1-=8,A

7、2=-2。故得-2t-8tu(t)=8e-2eVt³0c又得duc-2t-8t(ti)=-C=4e-4eAt³0dt222-2---5555图题2-5所示电路，（1）求激励f(t)=δ(t)A时的单位冲激响应uC(t)和i(t)；（2）求激励f(t)=U(t)A时对应于i(t)的单位阶跃响应g(t)。解（1）该电路的微分方程为2dLdLC(ti)+(ti)+(ti)=f(t)2dtRdt代入数据并写成算子形式为2(p+5p+()4ti)=4f(t)=4d(t)故得4(ti)=d(t)=2p+5p+444-334141+d(t)=´d(t)-´d(t)

8、p+1p+43p+1