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1、高中数学基础知识汇总山东省莱芜市第四中学271104于庆利第一部分集合1・理解集介中元索的意义是解决集介问题的关键：元索是函数关系中自变量的取值?还是因变量的収值？还是曲线上的点？…；2.数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角处标系或韦••••恩图筹工具，将捕象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.(1)含n个元素的集合的了集数为2；真了集数为2n-l；非空真了集的数为2"・2；==注意：讨论的时候不要遗忘了A=0的情况。(3)C,(AUB)=(C’A)A(CMC(AC1B)
2、=(C,A)U(C,B);4.0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分函数与导数1.映射：注意①第一个集合小的元索必须有象；②一对一，或多对一。2.函数值域的求法：①分析法：②配方法；③判別式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式姮十冲;⑦利用数形结合或儿何意义(斜率、距离、绝对值的意义等)；⑧利用函数有界性(d“、sinx、cosx等)；⑨导数法3.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为［a,b］，则复合函数f［g(x)啲定义域山不等式aWg(x)Wb解出②若f［g(x)］的定义
3、域为［a,b］,求f(x)的定义域，相当于xW［a,b］时，求g(x)的值域。(2)复合函数单调性的判定：①首先将原函数歹=/［§(%)］分解为基本函数:内函数u=g(x)与外函数丁=f(u)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数y二/(u)的定义域是内函数u=g(x)的值域。4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；••••⑵.f(x)是奇函数o/(_
4、x)=-f(x)o/(-x)+/(兀)=0o八7)=-1：f(x)⑶/⑴是偶函数Of(-x)=/(x)O/(-A-)-/(x)=0<=>i二1；f(x)⑷奇函数/(Q在原点冇定义，则/(0)=0；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；1.函数的单调性⑴单调性的定义：①/(X)在区间M上是增函数0/兀[,兀20仏当x}oo也凹凹>0；X~X2②/(x)在区间M上是减函数u>X
5、/兀],兀2wM,当x}0O(州一兀2)•[/(兀J一/(兀2)]V0oJ一/也)vo；■旺_兀2⑵单调性的判定①定义法：注意：i般要将式子/(“)-/(£)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法(见导数部分)；③复合函数法(见2(2))；④图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。2.函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意兀，若有/(x+T)=/(x)(其中T为非零常数)，则称函数/(x)为周期两数，丁为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明
6、,遇到的周期都指最小正周期。(2)三角函数的周期®y=sinx:T=2^；®y-cosx:T；@y=tanx:T=tt；①y二Asin(亦+0),y二Acos(mx+0):T二；@y=cox:T=；a)Ico⑶函数周期的判定①定义法(试值)②图像法③公式法(利用(2)屮结论)⑷与周期冇关的结论①f(x+a)=f(x-a)或f(x一2a)=f(x)(a>0)=>f(x)的周期为2a；②),=/⑴的图彖关于点(d,0),(b,0)中心对称=>/(x)周期为2a-b；③〉，二/⑴的图象关于直线x=a,x=h轴对称n/(X)周期
7、为2a-h；④y=f(x)的图象关于点(4,0)中心对称，直线x=b轴对称=>/*(兀)周期为4a_b；8・基本初等函数的图像与性质⑴幕函数：y=xa(aw/?)；⑵指数函数：y=ax{a>0,a1)；(1)对数函数:y=logax(a>0,aH1)；(4)正弦函数：y=sinx；⑸余弦函数：y=cosx；(6)正切函数：y=tanx；(7)一元二次函数：ax2++c=0；⑻其它常用函数:L1①.正比例函数：y=kx伙工0)；②反比例函数：『=_伙工0)；特别的y二一xx②函数y=x+—(a>0)；x9.二次函数：⑴解析式：①
8、一般式：/(x)=ax2+hx+c；②顶点式：f(x)=a(x-疔+k,(h,k)为顶点；③零点式:f(x)=a(x-Xj)(x-x2)。⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判別式；⑥两根符号。⑶二次函
