高中数学第一章直线、多边形、圆13圆与四边形131圆内接四边形学案北师大版选修4-1

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1、1.3.1圆内接四边形理数材自交自測33“畠础

2、口玉学

3、MKI课标解读1.了解圆内接四边形的概念.2•学握并灵活运用圆内接四边形的性质定理与判定定理及其推论.「檢口理打图1一3—11.圆内接四边形的性质定理及推论(1)圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补.如图1一3—1,四边形月仇刀内接于00,则有：ZA+ZC=[80°,ZZ/+ZZ2=180°.(2)推论图1一3—2圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.如图1一3—2,Z宓是圆内接四边形加疋9的一外角，则有：ACBE=AD.1.圆内接四边形的判定定理及推论(1)判定定理：如果一个四

4、边形的内刈角互补,那么这个四边形四个顶点共圆.如图1一3—3①，若ZJ+Z6^180°,Z〃+ZZ?=180°,则四边形〃况刀内接于G>0(2)推论：如果四边形的一个外角等于其内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.如图1一3—3②，若ZCBE=ZD,则四边形肋CZ?内接于G>0图］_3_31.判定四点共圆的方法有哪些？【提示】(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这以个点共圆.(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的

5、斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆.(因为四个顶点与斜边中点距离相等)D2.如图1一3—4,在四边形〃处9中，若ZADB=AACB,那么/,B,Q〃共圆吗？为什么？【提示】A,B,C,〃共圆.假设力，B,C,〃不共圆，其中C点在圆外G处.设北;交00于〃点，连接BE,・・・几B、E、〃四点共圆，D:.上ADB=/AEB.又知Z/I防是△砂T的一个外角，・•・ZAEB>ZACB,:.ZADB>ZACB,这与ZADB=ZACB矛盾.・・・假设不成立.同理若G(C)点在O0内，则有：上ACH>ZADB,与ZADB=/ACB矛盾.或妖朮师主互动规-知滋合

6、作探«

7、

8、,DAFAPADA••历=7?••西=方I规律方法I1.在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等.2.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系.•变Ttilll练已知四边形zl磁内接于圆，DE//Aa交％的延长线于〃，求证：AB*CE=AD^CD.【证明】如图，连接勿,・.・DE//AQ:.ZE=ZACB.・・•ZACB=乙ADB,:.ZADB=ZE.在△血®与中,•・•上ADB=ZE,乙BAD=上DCE,:、IX

9、AB2'CDE..AB_AD:%~cir~cE故初・CE=AD•CD.圆内接四边形的判左图］_3_6卜例如图1一3—6,在△加力中，E,D,尸分别为BC,的中点，且APLBC于P.求证：E、D、P、尸四点共圆.【思路探究】证明本题可先连接彤构造四边形沏尸的外角乙FPC,证明乙FPC=乙C,再证明ZFPC=ZFED即可得出结论.【自主解答】连接•・・AP_LBC,F为化的中点,•・・FC=^AQ:・PF=FC,:.上FPC=ZC.・・・£,F,〃分别为肋，AC,化的中点,:.EF〃CD,ED//FQ・••四边形如'为平行四边形，:•乙FED=乙C,:

10、、乙FPC=ZFED,:、E,D,P,尸四点共圆.I规律方法I1.本题证明的关键是如何使用点以D、尸是屮点这一条件.2.要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证明.»变貳训练如图1-3-7,D,F分别为△/滋的边加，/1C上的点，且不与的顶点重合.已知处的长为刃，化的长为/?,AD,初的长是关于x的方程x~Ux+mn=0的两个根，(1)证明：C,B,D,E四点共圆；(2)若Z^=90°,且/7/=4,刀=6,求GB,D,〃、所在圆的半径.【证明】⑴如图，连接加，在△初F和△外彷中，AD-AB=mn=AE^AC,ADAE即矿莎

11、又乙DAE=ZCAB,从而△应疗s△畀加因此ZADE=ZACB.所以C,B,D,尸四点共圆.(2)7/7=4,〃=6时，方