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1、随机变量的数字特征第四章随机变量的概率特性怎样粗线条地描述r.v的某一概率特性？简单明了、特征鲜明、直观实用特点：全面、详细、完整不足：复杂、重点不突出问题要求随机变量的数字特征分布函数密度函数分布律★r.v.的平均取值——数学期望★r.v.取值平均偏离均值的情况——方差★描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便.有时只需知道它的某些特征就可以了.1.一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年
2、产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.2.考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.3.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度，又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好。第一讲数学期望导读内容1、自学：什么是数学期望？为什么说期望是随机变量取值的概率意义下的加权平均值？2、离散型、连续性随机变量的期望及随机变量函数的期望如何计算？期望有哪些性质？3、期望在实际问题（如效益、利润、保险、求职、证券等）中有哪些应用？请查找资料举
3、例说明。甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下：怎样评估两人的成绩？甲：每枪平均环数为可见甲的射击水平比乙略好引例甲：乙：环数次数次数环数分析两人的总环数分别为(环)乙：(环)甲：乙：(环)(环)平均环数评估标准实际背景某班级某课程考试的平均成绩电子产品的平均无故障时间某地区的日平均气温和日平均降水量某地区水稻的平均亩产量某地区的家庭平均年收入怎样定义r.v的平均值概念平均值的概念广泛存在例如某国家国民的平均寿命问题question甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下：怎样评估两人的成绩
4、？即平均环数为甲：乙：环数次数次数环数进一步分析记甲每枪击中的环数为因为射击次数较多,故可认为的分布律为则甲射手每枪平均环数为5416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk则抽查到的100只手表的平均日走时误差为即例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:如果另外再抽验100只手表,每做一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值.这样我们就引出
5、了随机变量的数学期望的概念.(期望、均值)定义设的分布律为若级数则称为的数学期望。离散型随机变量的数学期望数学期望的本质——加权平均它是一个数不再是r.v.例1-10123p0.10.20.10.30.3设随机变量有分布列试求的数学期望解:=（-1）×0.1+0×0.2+1×0.1+2×0.3+3×0.3=1.5解:①分布律为：X0123P0.30.40.20.1②平均废品数为：例2某工人工作水平为：全天不出废品的日子占30%，出一个废品的日子占40%，出二个废品占20%，出三个废品占10%。设X为一天中的废品数，（1）求X的分
6、布律；（2）这个工人平均每天出几个废品？例3某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.付款额根据使用寿命来确定：寿命(年)付款(元)试求该商店出售一台电器的平均收费额.假设设出售一台电器的收费额为元,分布律为即参数为1/10的指数分布密度函数为即商店出售一台电器平均收费额为元解:常见离散的随机变量的数学期望(1)两点分布设服从二点分布，其分布列为：10P(=)pq则=1×p+0×q=p(q=1-p)(2)二项分布设X~B(n,p)则在n重贝努利试验中，每次成功的概率是p,则n次试验成功的平均次数是np．（3）泊松分布设服
7、从参数为λ的泊松分布，其分布列为分布期望概率分布两点分布p泊松分布常见离散的随机变量的数学期望二项分布np设连续型函数的随机变量X的密度函数为f(x),绝对收敛,则称为随机变量X的数学期望(均值、期望)。连续型随机变量的数学期望如果否则称X的数学期望不存在。注意不是所有的连续型随机变量都有数学期望例4设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望。解：常用的连续型随机变量的数学期望1.均匀分布2指数分布3正态分布常用的连续型随机变量的数学期望分布期望概率密度均匀分布指数分布正态分布随机变量的函数的期望定理注意二者的形式一致性例5
8、设随机变量X的分布列为X-101234P（X=xi）0.10.20.20.30.10.1解例6解数学期望的简单性质(1)E(c)=c;(c为常数),(2)E(kX+b)=kE(X)+b;k,b常数(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)设X,Y相互独立,则
