资源描述：
《2017_2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式同步配套.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二维形式的柯西不等式1.二维形式的柯西不等式（1）定理1：若日,b,c,d都是实数，则（/+方2）（d+d）2（日c+加）2,当且仅当//=力时，等号成立.（2）二维形式的柯西不等式的推论：（白+Z?）（c+小2（、层+｛鬲'（白，b,c,〃为非负实数）；ja2+b~•寸d+/$
2、曰c+力（仪,b,c,dGR）；寸/+//•寸c"+
3、臼c
4、+
5、Z?d
6、（臼,byc,dWR）.2.柯西不等式的向量形式定理2：设a,0是两个向量，贝IJ
7、a•0
8、W
9、a丨・丨〃
10、,当且仅当P是零向量,或存在实数使a=k
11、B时，等号成立.［注意］柯西不等式的向量形式中a•0W
12、a
13、
14、0
15、,取等号的条件是”=0或存在实数斤，使a=kfi.3.二维形式的三角不等式（1）定理3：寸并+说+寸左+访N~~x^—X2~7+~y—y-i~（石，/,脸，.血WR）.当且仅当三点出，凭与0共线，并且〃，凭点在原点。异侧时，等号成立.（2）推论：对于任意的眉，曲，禺，门，％,/GR,有V—2+y—y-i+x2—Xz已矢口/+Z/=1,x+y=1,求证：
16、站+方.卩
17、冬1.证明：由柯西不等式得（站+Z?y）y{a+Z?2）{x+y）
18、=1,
19、ax+byWl・+乃_口$寸X1—X22+y—y-i2.事实上，在平而直角坐标系中，设点岀，B,A的坐标分别为（必，/）,（曲，必），（朋,乃），根据△PNPs的边长关系有I/V打+丨/2旳鼻丨“/引，当且仅当三点“，代,只共线，并且点R,必在A点的异侧时，等号成立.对应学生用书P29号点一利用柯西不等式证明不等式0•cossin求证:证明:（臼』?1+越厶）（臼ibi+越厶）2方2［例1］已知〃为锐角，臼，方WR+,求证：一+・三〃上（臼+方）1cos〃sin〃［思路点拨］可结合柯西不
20、等式，将左侧构造成乘积形式，利用“l=si『^+cos1己知曰I，$2,A为正实数.〃.”然后用柯西不等式证明.2A2［证明］•••—帀cos”sin〃(cos2〃+sin‘“)bsin()sin20［方法・规律•小结］——利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件.求证：yj/+EI)+c+*ja+c2yf2(曰+b+c).证明：由柯西不等式：y
21、ja+b'•寸1+1"2臼+方，即边•yja2+/}Na+b.同理：*^2•yjl)+c^b+c>y/2•yja+c^a+Cy将上面三个同向不等式相加得：y[2(yja+l}+yfa^+c+yjb2+c)$2(卄b+c)•Iyj^+/f+yja+c+寸*+c空y[2•(a+b+c).希点二利用二维形式的柯西不等式求最值［例2］求函数y=3sina+4cos。的最大值.［思路点拨］函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值.［解］由柯西不等式得(3sina+4cosa
22、)y(32+42)(sin2a+cos2)=25,.*.3sina+4cosaW5.sina34当且仅肖~—=cosa>0即sina=-,cosa=丁时取等号，即函数的最大值为5.［方法・规律・小结］——利用柯西不等式求最值①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，
23、每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.〃〃〃氐他集轲f/////1.已知2/+#=1,求2x+y的最大值.解：2%+y=y[2Xy^x+lX^22+12Xyjy^2x2+y=^3Xyj2x+y=y[3.、用当且仅当尸尸专时取等号.・・・2/+y的最大值为羽.2.已知2/+3y=l,求4,+9#的最小值.解:V(4x+9y)(22+22)>(4z+6^)2=4,/.x+9#三*.当且仅当2X2x=3yX2,即2x=Zy时等
24、号成立.又2卄3y=l,得才=*尸右，故当x=+，尸右时，4#+9严的最小值为*3.求函数f(x)=px—6+pl2—x的最大值及此时x的值.解：函数的定义域为[6,12],由柯西不等式得(yjx—6-~yj12—x)(1~+12)[(yjx—6)2+(yj12—x)2]=2{x—6+12—x)=12,即寸x—6+彳12—xW2*^3.故当好二=寸12—血即”=9时函数f&)取得最大值2心对应学生用书P311.已知日，卜且日+方=1,则P={ax+by）2与宀/+"
