模态分析理论

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1、模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数。特征根问题以图3所示的三自由度无阻尼系统为例，设，，图1三自由度系统其齐次运动方程为：mz+kz=0（8）其中m，k分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵，，，则运动方程展开式为：（9）定义主振型由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。主振型意味着

2、各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o）就是反相位（相差180o），即同时达到平衡位置和最大位置。主振型定义如下：（10）其中zi为第阶频率下，各自有度的位移矢量，zmi为第个特征矢量，表示第阶固有频率下的振型，为第阶频率下的第个特征值，为初始相位。对于三自由度系统，在第阶频率下，等式可以写成（11）表示第个自由度在第阶模态下的模态矩阵。特征值对式（10）二次求导，得（12）代入齐次运动方程得m-ωi2zmisinωi+∅i+kzmisinωi+∅i=0（13）去除sinωi+∅i项化简得k-ωi2mzmi=0（14）以矩阵的形

3、式展开得：（15）zmi有非零解，则（16）即（17）方程解如下：，，。三个解对应该系统的前三阶固有频率，每一个特征根对应一个特征矢量zi，表示对应模态下该系统的振型。特征矢量由式k-ωi2mzmi=0得矩阵展开形式：（18）展开第一行和第二行，忽略下脚标m和i，得（19）得（20）如果设定了值，则就可以求出三个特征根值下，和相对于的位移。假设，一阶模态，：，，即z1=111；二阶模态，：，，即z2=10-1；三阶模态，：，，即z3=1-21。模态矩阵所谓模态矩阵就是指各列由各阶模态特征矢量构成的矩阵，如图4所示。图2模态矩阵对于

4、前面提到的三自由度系统，模态矩阵如下：zm=11110-21-11运动方程的解耦对于一个复杂的系统，在物理坐标系统中建立的运动方程之间存在耦合关系，因此求解起来比较麻烦，因此需要进行坐标系转化，将耦合的运动方程变为非耦合的运动方程，再将求得的结果转化为物理坐标系下的结果，运动方程解耦过程如下图5：图3运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化。任意上面的三自由度系统为例，由式m-ωi2zmisinωi+∅i+kzmisinωi+∅i=0得ωi2mzmi=kzmi（21）ωj2mzmj=kzmj（22）对式（

5、21）左乘zmjT得ωi2zmjTmzmi=zmjTkzmi（23）又因为ωj2zmjTmT=zmjTkT因为系统对称所以，mT=m，kT=k，则：ωj2zmjTm=zmjTk（24）对式（24）右乘zmiωj2zmjTmzmi=zmjTkzmi（25）则式（23）—式（25）得(ωi2-ωj2)zmjTmzmi=0（26）当(ωi2-ωj2)≠0时，则zmjTmzmi=mji=0（27）当ωi2-ωj2=0，即i=j，则zmjTmzmi可以为任何值，令zmjTmzmi=mii（28）则对质量矩阵和刚度矩阵的归一化结果如下：mn=

6、zmTmzm（29）kn=zmTkzm（30）特征矢量的归一化由于特征矢量只是位移之比，而不是绝对振幅，因此可以对其进行归一化处理。令zniTmzni=1.0，其中zni=zmizmiTmzmi12=zmiqi（31）qi=j=1nzmjik=1nmjkzmki12（32）对于对角质量矩阵qi=j=1nmkzmki212（33）则三自由度系统：zm=11110-21-11（34）（35）则归一化的质量矩阵为（36）同理归一化后的刚度矩阵为（37）可以看出归一化后的刚度矩阵对角线上的各项就是各阶模态固有频率的平方。运动方程解耦将物理

7、坐标系下的运动方程按照前面介绍的归一化方法转化为主坐标系下的运动方程，其结果如下：38）可以看出在主坐标系中的运动方程之间没有耦合关系，分别单独描述各阶模态的运动特性。初始条件和激励的坐标转换物理坐标系中的非齐次运动方程为（39）做如下变形（40）其中，就是前面介绍的质量和刚度矩阵的对角化。令，主坐标质量矩阵；，主坐标刚度矩阵；，主坐标系加速度矢量；，主坐标系位移矢量；，主坐标系激励矢量。同样的关系也适用于初始位移和速度：（42）两种坐标系的对比物理坐标系主坐标系物理坐标系中的运动方程的变量是速度和位移，在主坐标系中的变量是各阶振

8、动模态下的位移和速度。由主坐标系转变为物理坐标系前面介绍了物理坐标系与主坐标系之间的关系为（43）对式（41）左乘，变为（44）同理（45）非参数模型传递函数传递函数由系统的本质特性所决定，与系统的输入输出无关。知道了系统的传递函数就可以根据输入求