模态分析理论(23页)

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1、机械模态分析理论基础假设：系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统gg:描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性;:振动系统的动态特性（如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐激励T响应的频率必定与激励一致。:系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。振动系统分类:空间角度：离散（有限自由度）系统和连续时间角度：连续时间系统和离散时间系统连续模拟信号一9离散数字信号（无限自由度）系统研究步骤:（1）建立结构的物理参数模型（以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程）

2、（2）研究其特征值问题，求得特征值和特征矢量，得到结构的模态参数模型（模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态阻尼、模态刚度等参数）。正则化，解耦。⑶通过研究受迫动力响应问题，可得到系统的非参数模型（频响函数和脉冲响应函数）。频响函数和脉冲响应函数是试验模态分析系统识别模态参数的基础。根据阻尼模型的不同，分为:无阻尼系统、比例阻尼系统、结构阻尼系统、粘性阻尼系统1、单自由度系统的振动粘性阻尼系统的振动微分方程:mx+cx+kx=f（t）自由振动：mx+cf+fcr=0正贝U形式：丘+2分+0：兀=0其中：—佥：衰减系数（衰减指数）；%

3、—:无阻尼固有频率（固有频率）m引入阻尼比（无量纲阻尼系数）：＜=—=—Q（）2Jmk运动微分方程可写成:x+2^a)ox+cOqX=0特解为：x=（pe；J,久为方程的特征值，因此：（777/12+C/l+k）0=O为使系统有非零解，很显然：mA2+k=0因此可得到2的解为：人,2二-b±j叫式中：叫成为阻尼固有频率。当：＜＞1（＜7〉列），过阻尼，系统不产生振动；V彳当：＜=1（b=5）,过阻尼，系统不产生振动；当：＜＜1（＜T＜^0）,过阻尼，系统不产生振动。可见，特征值几实部代表系统的衰减系数；几虚部代表系统的阻尼固有频率。在振动理

4、论中，特征值兄称为复频率。方程的通解（自由振动响应）为：x=Ae~^sin（0/+0）其中，A和&取决于系统的初始条件。当t=0时，x=x0,x=x0oA=、l对+（並Wo]I5丿0=fgT3Xo+叭2、传递函数、频响函f(t)h(t)对于简谐激励：W)=F严，其稳态响应：垃)=“严h(t)单位脉冲外力下的响应函数(简称为脉冲响应函数)，时域内反映系统的动态特性:H(s)机械导纳，反映系统对不同频率的激励的传递放大特性，反映系统易受振动。频域内反映系统的动态特性对于单自由度粘性阻尼振动系统，通过拉氏变换和傅氏变换可得到:(k+jcco-m

5、co2)X=F所以，位移频响函数为:%)亠=―F(co)k-mco+jcco速度频响函数为:弘(q)2•r(69)k-mco+jcco加速度频响函数为:-co2k-mco+jcco频响函数的倒数成为阻抗。单位脉冲响应函数(简称为脉冲响应函数)：振动系统中单位脉冲力作用下的自由响应。ooj=0R)=[o,心0单位脉冲力5(/)是指：脉冲量为1,作用时间无限短的瞬时力：且订3(t)dt=1co质点受到单位脉冲力作用后获得的动量为:=1,则自由振动的初始条件就为:兀o-0,心一一m可得到系统的自由振动响应:h(t)=esina)dtmcox就是脉

6、冲响应函数。很容易证明频响函数和脉冲响应函数是一对傅氏变换对:(1)简谐激励结构在简谐激励下的稳态响应也是同频率的简谐振动。但有相位差。/(r)=Fej(a)t+a)x(t)=XeE5H5)十]工程中，应变常常是非常重要的，而且易于测量。应变片体积小、质量小、成分低，对试验结构影响很小。而且由应变可计算得到应力，工程中常常通过测量得到应变模态。(2)周期性激励周期性激励可通过傅立叶级数展开成各阶谐波的叠加。响应也是由对应激励的各阶谐波频率成分组成o(3)瞬态颔激励和响应都是非周期信号。但是对于绝对可积的函数，可应用傅立叶变换得到激励和响应的

7、频率域函数:F(^)=「f(t)e-j6)tdtJ-00x(Q)=rx(t)e-j(0tdtJ-8在频率域：功率谱密度函数h^=g^)九3GM)G#(効F(f)AH(f)Y(f)Z(f)/N(f)H1(e)=H1+GwmGff因此，(4)随机激励为非确定性的激励，无法用一个明确的函数来描述，不绝对可积，不能对激励和响应进行傅立叶变换，只能用概率统计的方法来处理。在时间域：相关函数G.Z)冲M很显然，X(q)=H(QF(◎无法描述输入和输出的统计特性。做进一步推导:1)e[x(劲F*(q)卜e[hQ)F(0)F@)J2)e[x(d)X&)卜

8、e[h(0)FO)X"(d)]相干函数可以检验系统的非线性程度，如测量对象在某处联接存在松动等非线性情况，系统非线性等。当输入和输出存在噪声，也会使相干函数下降。/、[1G曲M（