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1、1.写出n=5时Lagrange插值基函数厶（兀）的表达式;解!（兀）二（无_兀。）（兀_兀1）（兀_兀3）（兀—兀）（无_兀5）2（勺一X0）（X2一西）（兀2一兀3）（兀2一兀4）（兀2一兀5）2.设〃x丿的函数值及导数值为：/（0丿=1/（1丿=2,f（l）=3，试求次数不超过2的插值多项式。解：因为若/⑴在［a,b］上冇三阶连续导数，已知/⑴在［a,b］上两个互异点x0,x,±的函数值/（x0）,/g）和一阶导数值广（和，则次数不超过二次的插值多项式为g）=戶吗他）-中吕沁心）+匕込卫八和（勺一X
2、）「（X。一X
3、
4、）「兀
5、一％0并冃插值余项为/?⑴=2（兀一兀0）（兀一码）2厂（g）,gw（a,b）6所以本题的插值多项式为L?（x）=（x-1）2-2x（兀一2）+3x（x-1）=l-x+2x23.坂的插值二次式P2（x丿，使得p2（121）=1l,p2（169）=13,p2（225）=15,计算屈的近似值。解:心诂二爲爲14992(X-169)(%-225)4（兀）=(x-121)(%-225)(169-121)(169-225)12688(X-121)(%-225)‘2（兀）=(兀一121)(^—169)(225-121)(2
6、25-169)15824(兀一121)(兀一169)插值多项式为厶心需(269)(325)一総(221)(-225)+鼎221)(—69)故屈的近似值为厶(145)=114992(145-169)(145-225)-132688(145-121)(145-225)+155824(145-121)(145-169)=12.0329662112()24960864049922688_58244・对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线y(x)=al]+aix^a2x2k12345xk-2-1012yk101029解：取q(x
7、)=1，0o(兀)=1，(px(%)=x，(p2(x)=x2，p2(x)=a{)+a}x+a2x2，由于i>5,Ao,tf=l/=!/=!5=10,>=0,/=!工兀：=34‘£yi-22,/=1Z=155X-=79,从而可得法方程组为/=1/=1(5010、z、兔、厂22、0100ax—-1JO034丿/卫2丿J9丿解次方程组可得q()=—0.6a】=—0.1ci^=2.5故所求一次拟和合曲线力y=—0.6—O.lx+2.5兀・。5-设益o,兀，…,乙是互不相同的节点，4(x)是插值基函数，求证：对任何k=0,1,2,
8、…,n下式成立：(1)t^lx)=xk(2)£(兀一兀)：(兀)=01=0/=0证明：(1)令f(x)=xk(R=0,1,2,…丿)，则于(X)的Lagrange插值多项式为L“(x)==£h(x)x：i=0f=0其中£(x)(i=0,1,2,…,m)为Lagrange插值基函数。插值余项为知⑴=f(x)-Ln(x)=—^―严)(打也(x)(7?+1)!其小％i(x)=n(x—兀),§在勺叭，…心之间.i=0由于f(x)=xk伙=0丄2,・・・‘)故严Z⑴=0,从而恥)三0,nkkXl.{x)x.==xK(k=0,1,
9、2,•••,/?)心()'1(2)根据二项式展开定理有：”nkkn工(兀,-m<.(%)=x(EcH(-沪儿m=XSG(一兀尸兀仏(兀)i=0i=0J=0j=0/=0kn（-i）s右吃呐（兀）（由（i）结论可得）j=0i=0=£G(-1)SFT兀q(-l)SV;=0j=0=Xc^-)k~jxk-jxj=(x-x)k=0J=06.阶差商为证明：若f（x）=」一，则fO）在节点无0，兀］,・・・,暫处的na-x•%“，・・5]=r)(鳥证明：当n二1时，冇心］=迪血=—1—西一勺（d_Xo）（d_西）结论成立，假设当n=k
10、-时成立，^n=k^fk°,為，不,•…，龙］二•门％，兀1，兀2,…，心一1_.门西，无2,…，心］0,P2，'“兀0-£（兀0一兀“）（0一兀0）（。一州）・・・（。一£_1）（0一州）（。一兀2）・・・（。一兀“）（a_州）…（—£_］）（兀0_£）⑺-勺）（a-xj1（a7o）（Q_X］）・・・（Q_E）所以对任何兀上式都成立，证毕。7.已知函数y=/（x）的数据如下：/（0）=2,/（1）=3,/（2）=12,/⑸=147（1）求）^'=于（x）的三次Lagrange插值多项式及牛顿并商表和牛顿插值公式,并写
11、出截断误差表达式。（2）如果再增加一个节点/（3）=-1，试利用（1）的结果，来求在新的条件下，y=y（x）的牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。解：（1）Lagrange插值多项式：(x—l)(x-2)(x-5)(0-1)(0-2)(0-5)=-±(x-1)(x-2)(x-5)=-±(x3-8x2+17
