二次函数为背景下的动态图形面积问题

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1、二次函数为背景下的动态图形面积问题乔司中学陈琳一、学情分析以运动的观点探究几何图形的变化规律问题称之为动态几何问题。动态包括点动、线动和面动三大类，这类题综合性强，能力要求高，它能全面地考查学生的实践操作能力、空间想像能力以及分析问题和解决问题的能力。将二次函数与动态几何面积问题相结合更是近几年中考试题的亮点，这类题目探索性更强、综合性更高，对提高学生的思维品质和各种能力有更大的促进作用。二、教学目标1.通过例题的学习了解动态几何问题涉及的常见情况，掌握二次函数中动点图形的面积最值”试题解析一般规律

2、：即“以静制动”解题，学会用代数表示与函数图象相关几何图形的长度和面积，运用面积公式和面积转换来求解几何问题。2.通过例题的学习，进一步体会方程，函数之间的相互联系，强化学生的分类意识，感悟运动变化、数形结合、分类讨论、转化等重要的思想方法。三、教学重点运用“以静制动”将动态问题转化为静态问题来解，并结合二次函数的性质和面积公式及面积转化等方法表示动态图形的面积问题；四、教学难点1.例3中涉及的对于区分重叠部分的不同情况，不遗漏地分类讨论是难点；2.问题解决中数形结合，分类讨论，转化思想等综合应用五

3、、教学设计（一）例题精讲例1：点动下的面积问题1.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC． （1）求ＡＢ＝（　　　　），ＯＣ＝（　　　　　）（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合）。过点E作直线l平行BC，交AC于点D。设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出△CDE面积的最大值。2：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线

4、段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大？:设计说明：点动下的面积问题，分为一个动点、两个动点的问题（或多个），学会通过分析运动过程，将动态问题转化为静态问题，确定该表达的图形面积，并运用三角形相似、面积公式及面积转化等方法求出所求图形的面积表达式，然后根据函数性质求最值例2：线动下的面积问题如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的

5、垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式设计说明：线动下的面积问题，学会通过分析运动过程，将动态问题转化为静态问题，确定该表达的图形面积，若图形不规则，则用割补法将图形分割成若干规则图形，进而求出所求图形的面积表达式例３：（

6、面动下的面积问题）已知抛物线y=ax2-2ax+c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是(-1，0)，O是坐标原点，且

7、OC

8、=3

9、OA

10、(1)求抛物线的函数表达式；(2)直接写出直线BC的函数表达式；(3)如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF．将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒(0＜t≤2)．求：①s与t之间的函数关系式；②在运动过程中，s是否存在最大值

11、？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．设计说明：面动下的面积问题，学会通过分析运动过程，区分清楚重叠部分的不同情况，细致了解整个运动过程，不遗漏地分类讨论是解答此类问题的关键（二）综合运用（机动）如图，在直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B(-2，0)，过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．(1)填空：点D的坐标为，点E的坐标为；(2)若抛物线(a≠0)经过A，D，E三点，求该抛物线的解析式；(3)若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线B

12、C同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t(秒)的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；②运动停止时，请直接写出此时的抛物线的顶点坐标．六、小结（1）解题策略：“二次函数中动点图形的面积最值”试题解析一般规律：这类问题的特征是要以静代动解题，从研究背景图形，分析运动过程，确定取值范围（起点和终点）中动手画出符合条件的静态图形（不同的情况，课分段画图），用含x的代数