2020版高考数学第三章三角函数、解三角形第22讲正弦定理和余弦定理课时达标理新人教A版

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1、第22讲正弦定理和余弦定理课时达标一、选择题1．(2019·武汉中学期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，若B为锐角，则A∶B∶C＝(　　)A．1∶1∶3B．1∶2∶3C．1∶3∶2D．1∶4∶1B　解析因为a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，所以由正弦定理可得sinB＝＝，则B＝60°，所以C＝90°，则A∶B∶C＝1∶2∶3.2．在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝105°，BC＝，则边长AC＝(　　)A．－1B．1C．2D．＋1B　解析依题意有∠B＝180°－105°－45°＝30°，根据

2、正弦定理＝，得AC＝＝1.故选B．3．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)A．B．C．D．B　解析设AC＝b，BC＝a，AB＝c，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得7＝4＋c2－2c，解得c＝3或c＝－1，因为>2，所以三角形仅有一解，所以c＝3.设BC边上的高为h，则h＝csinB＝.4．在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为(　　)A．B．2C．D．3C　解析因为AC2＋BC2≥2AC·BC，所以AC·BC≤4.因为cosC＝，所以cosC≥，所以0°

3、°.因为S＝AC·BC·sinC，所以由不等式的性质可知当AC＝BC＝2且C＝60°时，面积S有最大值，Smax＝×2×2×＝.故选C．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形C　解析因为＝，所以＝，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别

4、是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)A．3B．C．D．3C　解析因为c2＝(a－b)2＋6，所以c2＝a2＋b2－2ab＋6.①因为C＝，所以c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.所以S△ABC＝absinC＝×6×＝.二、填空题7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB＝，cosB＝，则a＋c的值为________．解析因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.因为sinB＝，cosB＝，所以ac＝13，因为

5、b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2＝37，所以(a＋c)2＝63，所以a＋c＝3.答案38．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.解析在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝.因为BD＝BC＝2，所以∠BDC＝∠ABC，则cos∠BDC＝＝.答案　9．(2019·开封一模)在△ABC

6、中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sinB＝，S△ABC＝，则b的值为________．解析由＝⇒＝⇒a＝c①，由S△ABC＝acsinB＝且sinB＝得ac＝5②，联立①②解得a＝5，c＝2，由sinB＝且B为锐角知cosB＝，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.答案三、解答题10．(2019·邢台质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝2asinB，tanA＞0.(1)求角A的大小；(2)若b＝1，c＝2，△ABC的面积为S，求.解析(1)因为b＝2asinB，所以si

7、nB＝2sinA·sinB，sinB>0，所以sinA＝，因为tanA>0，所以A为锐角，所以A＝.(2)因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋12－4×＝7，所以a＝.又S＝bcsinA＝，所以＝.11．(2019·河南重点高中期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝.(1)判断△ABC的形状并加以证明；(2)当c＝1时，求△ABC周长的最大值．解析(1)因为＝－，即cosA＝，所以b＝ccosA＝c·，即c2＝b2＋a2，所以△ABC为直角三角形．(2)因为c为直角△ABC的斜边，当c＝1时，周长L＝1

8、＋sinA＋cosA＝1＋sin.因为0