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《三点共线问题的一个重要结论及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、三点共线问题的一个重要结论及应用一・命题及证明命题已知非零向fiOAxOPOBOP=mOA+nOB,若m+n=l(m,neR,且加〃HO）,则点a、p、b共线，HP分农所成的比为A=—.m证明:OP=mOA+nOB心帀二刃+巴亦,mm‘•77‘•即AP=—PB.m・・・丄OP^OA+—OB,・mm・・・OP-OA=—(OB-OP),m—*n:.点A、P、B共线，且P分A〃所成的比为几=—・m卜•面思考其逆命题，即逆命题若点A、P、B共线，且P分AB所成的比为/L则有且只有一对非零实数OP=mOA+nOB,且m+/
2、?=1（0为平而上不同于A、P^B的一点）.证明：・・・点A、P、B共线，设AP=APB(/iHO且1),・・・OP-0A=A(OB-OP),・・・(1+2)丽=莎+/1丙,・・・OP=-^—OA+-^-OB.1+A1+2]2-,2令in=,n=,则有0P=mOA+nOB,JIm+n=,A=—.1+兄1+兄ITl于是，综上町得结论三点A、P、B共线的充要条件是存在实数m.n满足m+n=l,且使得OP=mOA+nOB・（O为平面上不同于A、P、B的一点）.特别地，当m=n=丄时，OP=-（OA+OB）t点P是线段
3、AB的中点；当加=0或22n=0时，点P与点3或A重合.二.结论的应用例1.（1）已知点A、B、C三点共线，O在直线AB夕卜，设OA=a,OB=h,OC=cf且存在实数加使，応一35+7=6,则点A分況所成的比为（）A.3B.—3C.—D.33解：*/ma—+c=6,OB=—OA+—OC.33m1•••点A、B、C三点共线，J_+_=［，m=2.3331131・・・OA=-OB--OC,:.点A分BC所成的比为心二）:矿-亍故选D.B（2）已知如图1，OA=a,OB=b,OC=c,点C为线段AB的距A较近的一个三
4、等分点,2-3z(x2-35-9+一d4-9=1-3+一b2-9+一a4-9=丄（4：+5初.故选A.9点评：根据结论不难得出，只要给出线段AB的任一分点P,都可以利用向量力、b表示0P,此方法冋避了通过向量的加减运算來转化的繁琐过程，显得丁分简捷.例2.平面直角坐标系中,0为坐标原点,已知力（3,1）、5（-1,3）,若点C满足OC=aOA+/3OB,其中Q、卩wR,且q+0=1,则点C的轨迹方程为（）.A.3兀+2y—ll=0B.（兀一1）2+（〉，一2）2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0（2002年
5、全国新课程高考卷）解：因a+0=l,由结论可得点A、C、B共线，所以点C在直线AB上运动，故点C的轨迹为直线AB,由4（3,1）、B（—l,3）得轨迹方程为x+2y—5=0.故选D.例3.线.点评：根据本文结论的特殊情况及轨迹的完备性，可知点C的轨迹是直线AB.如图2,平行四边形ABCD屮，BE=-BAfBF=-BD,求证：E、F、C三点共45分析:根据题Id条件，只需寻找BE、BF、3C的关系即可.・・・BA+~BC=BD1BE=-BAfBF=-BD.45一——一.4—-1—-・・・5BF=BC+4BE,.・.
6、BF=—BE+—BC,所以点E、F、C三点共线.55证明:例4.如图3,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点尸（0,加）（加＞0）作直线与抛物线交于A,（2004年湖南卷）B两点，点Q是点P关于原点的对称点，设点P分有向线段而所成的比为；I.求证：莎丄（QA-AQB）.证明：因为点P分分有向线段而所成的比为几，贝IJ必然存在实数Q、0,22=(a兀］+0兀2，菁Q+^~0+(Q+0)加)=(处
7、+侏2,22丄^+巴一0+加）・44ax{+(3x2=0,22—(7+^-/?=-m.②44"显然有QP(QA-AQB)=
8、(aQA+fiQB)-(QA-^-QB)=丄(/@^_02西)aa故只需证明a2QA-/32QB2=0即可.而/刃I”西2r2屮一呼+0i4丿<79999x22+、2x22二一+加4=（QX]+0兀2）（GXl一0花）+22、工&+^^0+(&+/3)m•44<22—a-^^/3+(a-J3)j?r=0(44・・・狐丄(QA-AQB).点评：本解法运用了结论的坐标形式，充分利用向暈的知识解决解析儿何问题，打破了利用II线与圆锥曲线位置关系进行转化的传统模式，体现了向暈与解析的内在联系.另外，设而不求、報体代换
9、等基本方法使得解题思路更加清晰、条理化.
