三点共线问题的一个重要结论及应用.doc

《三点共线问题的一个重要结论及应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三点共线问题的一个重要结论及应用一．命题及证明命题已知非零向量、、满足，若，则点A、P、B共线，且P分所成的比为．证明：∵，，，∴，∴，∴，　即．∴　点A、P、B共线，且P分所成的比为．　下面思考其逆命题，即逆命题若点A、P、B共线，且P分所成的比为，则有且只有一对非零实数，使得，且（O为平面上不同于A、P、B的一点）．文档来自于网络搜索证明：∵　点A、P、B共线，设，∴，　∴，∴．令，则有，且，．于是，综上可得结论　　三点A、P、B共线的充要条件是存在实数满足，且使得．（O为平面上不同于A、P、B的

2、一点）．特别地，当时，，点P是线段AB的中点；当或时，点与点或重合．二．结论的应用例１．（1）已知点Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，Ｏ在直线ＡＢ外，设，且存在实数使，则点Ａ分所成的比为（　）Ａ．3　　　Ｂ．－3　　　Ｃ．　　　　Ｄ．解：∵，∴．∵　点Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，　∴，．∴，∴点Ａ分所成的比为．故选Ｄ．（2）已知如图1，，点Ｃ为线段ＡＢ的距Ａ较近的一个三等分点，点Ｄ为线段ＢＣ的距Ｃ较近的一个三等分点，则（　　）文档来自于网络搜索Ａ．Ｂ．Ｃ．　　　Ｄ．解：由题意知：，．∴．故选Ａ．点评：根据结论不难得出，只要

3、给出线段AB的任一分点，都可以利用向量、表示，此方法回避了通过向量的加减运算来转化的繁琐过程，显得十分简捷．文档来自于网络搜索例2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知、，若点Ｃ满足，其中，则点Ｃ的轨迹方程为（　　）．Ａ．　　Ｂ．Ｃ．　　　　　Ｄ．(2002年全国新课程高考卷)解：因，由结论可得点A、Ｃ、B共线，所以点C在直线AB上运动，故点C的轨迹为直线AB，由、得轨迹方程为．故选Ｄ．文档来自于网络搜索点评：根据本文结论的特殊情况及轨迹的完备性，可知点C的轨迹是直线AB．例3．如图2，平行四边形AB

4、CD中，，，求证：E、F、C三点共线．分析：根据题目条件，只需寻找、、的关系即可．证明：∵，，．∴，∴，所以点E、F、C三点共线．例4．如图3，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点，设点P分有向线段所成的比为．文档来自于网络搜索求证：．（2004年湖南卷）证明：因为点Ｐ分分有向线段所成的比为，则必然存在实数使，且．∵点Ａ、Ｂ在抛物线上，点Q是点P关于原点的对称点，∴设，∴．图3则．所以显然有．故只需证明即可．而=∴．点评：本解法运用了结论的坐标形式，充分利用

5、向量的知识解决解析几何问题，打破了利用直线与圆锥曲线位置关系进行转化的传统模式，体现了向量与解析的内在联系．另外，设而不求、整体代换等基本方法使得解题思路更加清晰、条理化．文档来自于网络搜索