专题51：解集为整数点的不等式（组）问题的研究与拓展

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1、专题5.1：解集为整数/点的不等式（组）问题的研究与拓展x-y>0,【课本溯源】不等式组x+yS5,表示的平面区域内的整点个数为.12y>0【问题提出】问题1：如何研究上述整点问题？y一x93个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为—问题2：AABC三边a,b,c的长都是整数，Ra

2、公差为3的等差数列，这样的三角形有个.5【拓展探究】探究1：若集合P={x2x-a<0}fQ={x3x-b>0},a,bwN,且PQ/V={1},则满足条件的整数对的个数为・变式：已知集合A={x

3、2x+5>3x-15},B={x

4、x+3<2x+26f},且ACB只有5个整数解，则a的取值范围是.-6

5、2x+5>3x-15},B={x

6、x+3<2x+2€/},且4RB只有5个整数解，则。的取值范围是.-6

7、W—U2探究4：关于％的不等式组rva(1)若集合2={a

8、2

9、x+l

10、+«-l)(6Z<1)的定义域为A,集合B={AjcOS7ZX=l),(C“A)r)3恰好有两个元素，求实数G的取值范围.一2<。50探究6：已知是实数，函数/(兀)=处+加一1

11、(灼尺)(1)若a"w(-2,2)

12、,且函数/(x)在(0,+oo)内存在最大值，试在平面直角坐标系aOb内，求出动点(G0)运动区域的面积；4(数(2)若b>0,且关于x的不等式/(x)<0的解集中的整数恰有2个,试求?的取值范围.b形结合)变式1：已知函数/(兀)=2卜一2

13、+ax(xwR)有最小值，则实常数a的取值范围是—变式2：函数f(x)=x+cx—1

14、在(0,+对上有最大值，则实数a的取值范围是探究7：(2009,天津)关于兀的不等式(2x-1)2<^的解集中的整数恰有3个，则实数。的取值范围是25,49・——

15、令g(兀)=(2兀-1)2,/z(x)=ar2.易知当合题意.分别作出函数图象，见图1.1;由题意，要使g(x)<〃(x)y=力(兀)的图象应在函数.y=g(x)的图象上方.又^(

16、)=0,由图象得到，原不等式解集中的3个g(D<〃⑴1,2,3；则有不等式组鬻:篇成立,916g(4)>A(4)令g(x)=d,/(x)=2-+),当xvO时，y=/(x)单调递增，且y>4；当00；当无冷时，y=/(x)单调递增,且0

17、«2・令X个单调区间内都满足条件解法1・3易知当。〉0时，原不等式的解集非同时开平方，得到

18、2兀-l

19、v需卜

20、・由心0得f(x)=2--,g(x)=V^.由于函数/?(%)=2+—在每XX是增函数，则/(A-)=

21、/?(x)

22、的图象如图1.3所示.因此，当原不等式的解集中恰有3个整数时，应g(<3厂)

23、2时，此时6/>二—，令/二尢一2>0,则a>t+-+4x—2t通过画图可得:当x<2时，同理可得—丄'L3丿并且此方法可用于研究3个、4个或者多个整数解均可研究解法2.1原不等式可转化为兀-2)・令在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图2.1,当°=0时，设不等式解集为A,且40.当。>0时，首先，易知当Ovav8时，函数y=g⑴的数y=/(x)图象下方.因此,要使函数y=g(x)图象在上/（X）=X2图象始终在函方时对应的横坐标的取值集合A中有2个整数，则d>8;同时，当^=8时，直线和抛物线相切于点(4,16).由图象知,当«>8时，x=4

24、为解集A中的一个整数.那么另一个整数则为3或5,即有：3wA5^A为1或中的x=20寸，不上，满足条件a>—;当x<2时，