材料力学第12章静不定问题分析

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1、第12章　静不定问题分析12.1引言12.2用力法分析求解静不定问题12.3对称与反对称静不定问题分析12.1引　言静不定结构和相应的静定结构相比，具有强度高、刚度大的显著优点，因此工程实际中的结构大多数是静不定结构。前面曾经介绍过简单静不定问题的概念与分析方法，本章以能量法为基础，进一步研究分析求解静不定问题的原理与方法。根据静不定结构约束的特点，静不定结构大致可以分为三类：仅在结构外部存在多余约束的结构称为外力静不定结构，仅在结构内部存在多余约束的结构称为内力静不定结构，不仅在结构外部而且在结构内部都存在多余约束的结构称为混合型静不定结构。例如，图12－1所示

2、平面曲杆，支座A、B处共有4个约束反力；而平面任意力系只有3个独立的平衡方程；而且，当支座约束力确定以后，利用截面法可以求出任一截面的内力，所以，该曲杆具有一个多余的外部约束，属于一次外力静不定结构。　　如图12－2(a)所示的平面刚架，支座处的3个约束力可以由平面任意力系3个独立的平衡方程求出；但是，用截面法将刚架截开以后（见图12－2(b)），截面上还存在3个内力分量(FN、FS、M)，以整体为研究对象，未知力的总数是6个，显然该结构属于三次内力静不定结构。确定内力静不定次数的方法是：用截面法将结构切开一个或几个截面（即去掉内部多余约束），使它变成几何不变的静

3、定结构，那么切开截面上的内力分量的总数（即原结构内部多余约束数目）就是静不定次数。图12－1图12－2对于图12－3(a)所示的平面刚架，如果从铰链处切开，该截面上有2个内力分量(FN、FS)，相当于去掉了2个多余约束，所以结构是二次内力静不定。可见，轴线为单闭合曲线的平面刚架（包括平面曲杆）并且仅在轴线平面内承受外力时，为三次内力静不定结构。　　图12－4所示平面刚架属于混合型静不定结构。确定混合型静不定次数的方法是：首先判定其外力静不定次数，再判定其内力静不定次数，二者之和即为此结构的静不定次数。显然，该结构具有1个多余的外部约束、3个多余的内部约束，即为4次

4、静不定结构。由于静不定结构有内、外多余约束，使得未知力数目超过了独立的平衡方程数目，因此求解静不定结构必须综合考虑静力平衡、变形协调和力与变形之间的物理关系三方面条件，这就是求解静不定问题的基本方法。分析求解静不定问题的具体方法很多，最基本的有两种：力法与位移法。力法是以多余未知力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，然后按变形或位移协调条件建立补充方程，从而解出多余未知力。位移法是以结构的某些位移为基本未知量进行分析求解的。本书主要介绍用力法求解静不定问题，用位移法求解静不定问题的方法请参阅其他《材料力学》教材。图12－3图12－412.2用力法分析求解静

5、不定问题12.2.1外力静不定结构分析图12－5(a)所示等截面小曲率圆杆，承受载荷F作用，试分析其约束力与内力。显然，该结构属于一次外力静不定。确定该结构基本系统的方法比较多：可以选取B端的可动铰支座作为多余约束；也可以选取A端阻止该截面转动的约束作为多余约束，将固定端改变为固定铰支座；还可以选取曲杆某个截面内部的相互约束作为多余约束，如解除相互转动的约束、将曲杆截开后加上铰链。基本系统的选取虽然有多种形式，所得结果应该是相同的，但是计算过程却有繁简之分，所以基本系统的选择是非常重要的。对于该曲杆，将B端的可动铰支座作为多余约束予以解除，并以多余约束力FBy代替其

6、作用，所得图12－5(b)所示的相当系统是最佳选择。图12－5原结构在B处是可动铰支座，上下不能移动，应有wB=0，所以相当系统截面B的铅垂位移也应为零，故相应的变形协调条件为对于曲杆，用单位载荷法计算点B的铅垂位移。在基本系统上施加相应的单位力如图12－5(c)所示。在载荷F与多余约束力FBy作用下，基本系统的弯矩方程为在单位载荷作用下，基本系统的弯矩方程为(a)根据莫尔定理，相当系统截面B的铅垂位移为（b）将式（b）代入式（a），得补充方程（c）解得（d）在相当系统上解出A端约束力分别为在相当系统上分析曲杆的弯矩方程为（e）由上式求出如果该曲杆没有B处的活动铰链

7、支座，在水平载荷F作用下，固定端A处的弯矩为显然，原静不定曲杆的强度远高于相应的静定曲杆。例12－1求图12－6(a)所示刚架的约束反力与弯矩的最大值。解(1）确定相当系统。这是一次外力静不定问题。选支座C处的水平约束作为多余约束予以解除，并以未知约束力FCx代替其作用，所选相当系统如图12－6(b)所示。(2）建立用载荷和未知约束力表示的补充方程并求解。　　原刚架在C处为固定铰支座，不能移动，所以相当系统在活动铰支座C处的水平位移也应为零，故变形协调条件是（a）用单位载荷法计算ΔCx，建立补充方程。图12－6在载荷与多余约束力FCx共同作用下，刚架的约束力可以