材料力学 第十一章：压杆稳定

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1、压杆稳定第十一章一、压杆稳定的概念压杆失稳试验图P1

2、失稳–––直线平衡状态改变为微弯平衡状态。P

3、=M=PvEIv+Pv=0–––二阶常系数齐次线性微分方程LyPPxPvPPxMxy由平衡条件，易得：M(x)=Pv(x)v+k2v=0通解：v=c1sinkx+c2coskx边界条件：x=lv(l)=0v(0)=c1sin(k0)+c2cos(k0)=c2=0v=c1sinkxv(l)=c1sinkl=0x=0v(0)=0∵c10否则v0与假设矛盾∴sinkl=0有：kl=nn=0，1，2，……临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向压力–––欧拉公式杆件失稳–––由直线变成曲线–––(0xl)–––半个正弦波三、不同杆端约束下

4、细长杆的临界压力欧拉公式压杆的长度系数。例求一端固定，一端自由细长杆的临界压力。由平衡条件M(x)=P(v)代入挠曲线近似微分方程EIv=M(x)=P(v)vyLPxxMP∴EIv+Pv=Pv+k2v=k2通解为v=c1sinkx+c2coskx+边界条件:x=0v'(0)=0x=lv(l)=v(0)=c1sin(k0)+c2cos(k0)+=0x=0v(0)=0∴c2+=0c2=v'(0)=kc1cos(k0)kc2sin(k0)=0∴kc1=0v'(x)=kc1coskxkc2sinkx∴c1=0v(

5、x)=(1coskx)v(l)=(1coskl)=n=0，1，2，……n=0，1，2，……(0xl)∵v(l)=0AlBAAll半个正弦波个正弦波MA=MB=0MA=MA=0相当长为2l的两端简支杆对比：图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为0，故可设想此处有一铰，而将压杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两端铰支的杆，利用两端铰支的临界压力公式，就可得到原支承条件下的临界压力公式。两拐点间的长度l称为原压杆的相当长度，即相当l这么长的两端铰支杆。两端固定l0.5lPcr一端固定，一端铰支两端固定l0.7lPcrl0.5lPcr不同约

6、束情况下，细长杆的临界压力欧拉公式可统一写成：：长度系数l：相当长度两端铰支=1一端固定，一端自由=2一端固定，一端铰支=0.7两端固定=0.5问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下如果失稳，它朝哪个方向弯？y=f(x)yzxz=f(x)yxxz平面内弯xy平面内弯z绕z轴转动截面绕y轴转动临界压力公式中的I是对哪根轴的I？Pcr维持微弯平衡状态最小的压力各方向约束情况相同时：为常数，I＝Imin–––最小形心主惯性矩各方向约束情况不同时：使Pcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。朝哪个方向弯四、欧拉公式的应用范

7、围临界应力总图1.临界应力柔度–––欧拉公式：柔度，长细比对细长杆2.欧拉公式的适用范围crp欧拉公式成立的条件：欧拉公式适用范围pQ235钢，E=206GPap=200MPa3.临界应力总图BCAcrDcr=abcr=ssPsPO0<s称为小柔度杆，cr=ss<p称为中柔度杆，cr=aba、b与材料性质有关的常数曲线A、B、C、D称为临界应力总图，越大，cr越小，Pcr=crA越小，越容易失稳。例111截面为120mm200mm的矩形木柱，长l=7m，材料的弹性模量E=10G

8、Pa，p=8MPa。其支承情况是：在屏幕平面内失稳时柱的两端可视为固定端(图a)；若在垂直于