维纳滤波和卡尔曼滤波

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1、第二章维纳滤波和卡尔曼滤波2.1引言2.2离散维纳滤波器的时域解2.3离散维纳滤波器的z域解2.4维纳预测2.5卡尔曼(Kalman)滤波2.1引言最优滤波维纳滤波和卡尔曼滤波简介本章讨论的主要内容1、最优滤波信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波器。滤波器的分类：线性滤波器、非线性滤波器；FIR滤波器、IIR滤波器；时域滤波器、频域滤波器；图2.1.1信号处理的一般模型x(n)=s(n)+v(n)最优准则：最大输出信噪比准则－>匹配滤波器最小均方误差准则误差绝对值的期

2、望值最小误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小x(n)=s(n)+v(n)Wiener滤波器的一般结构2、维纳滤波和卡尔曼滤波简介维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波以估计的结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最优准则。假设信号的真值与估计值间的误差为：均方误差最小即误差的平方的统计平均值最小：最小3、本章讨论的主要内容主要内容：维纳滤波器（FIR维纳滤波器和IIR维纳滤波器）、维纳预测器、卡尔曼滤波。分析思路：在均方误差最小的前提下，求得系统的单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)，进而计算滤波

3、器的最小均方误差2.2离散维纳滤波器的时域解正交性原理维纳—霍夫方程FIR维纳滤波器的时域解1、维纳滤波器时域求解的方法因果维纳滤波器的输出y(n)：n=0,1,2,…设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E［

4、e(n)

5、2］分别为e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n)k=0,1,2,…记梯度算子为k=0,1,2,…要使均方误差为最小，须满足上式展开为又将上述4式代入得分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。正交性原理：正交性原理的重要

6、意义：提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。2、维纳—霍夫方程将输入信号分配进去，得到k=0,1,2,…维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：k=0,1,2,…3、FIR维纳滤波器的时域解FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程当h(n)是一个长度为M的因果序列时，FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程表述为k=0,1,2,…,M-1(2.2.21)把k的取值代入(2.2.21)式，得到当k=0时，h0rxx(0)+h1rxx(-1)+…+hM-1rxx(-M+1)=rxd(0)当k=1时，h0rxx

7、(1)+h1rxx(0)+…+hM-1rxx(-M+2)=rxd(1)当k=M-1时，h0rxx(M-1)+h1rxx(M-2)+…+hM-1rxx(0)=rxd(M-1)…(2.2.22)定义（2.2.22）式可以写成矩阵形式，即对上式求逆，得到这里涉及到计算相关矩阵和逆矩阵，计算量可能较大。FIR维纳滤波器的估计误差的均方值假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度等于M，结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是最小的，从这个意义上说，它是最优的。其阶数越高，采用的已知信息就越

8、多，它的最小均方误差就越小，但相应的计算量也越大。2.3离散维纳滤波器的z域解白化滤波器非因果IIR维纳滤波器的Z域解因果IIR维纳滤波器的Z域解若不考虑滤波器的因果性，维纳－霍夫方程可以改写为设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)x(n)=s(n)+v(n)假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为k=0,1,2,…因为存在k≥0的约束，使得上式不能直

9、接转到Z域求解。如有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)=w(n)，w(n)是方差为的白噪声，由于则因果IIR维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为：k=0,1,2,…k=0,1,2,…由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，就可以解得因果IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。1、白化滤波器任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白色噪声w(n)激励某个物理网络所形成。x(n)的时间序列信号模型一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器。x(n)的白化滤波器

10、如果B(z)是一个最小相移网络函数，那么1/B(z)显然也是一个物理可实现的最小相移网络，因此可以利用上式白化x(n)。利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:于是，在最小均方误差准则下，求最佳Hopt(z)的问题就归结为求最佳G(z)的问题了。G(z)当然也需分因果性或非因果性的约束情况加以讨论。如果已知信号的Px