维纳滤波和卡尔曼滤波课件.ppt

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1、第二章维纳滤波和卡尔曼滤波2.1维纳滤波的标准方程2.2维纳-霍夫方程的求解2.3维纳滤波的均方误差2.4因果IIR维纳滤波器的设计与计算2.5标量卡尔曼滤波器2.6矢量卡尔曼滤波器2.7维纳滤波和卡尔曼滤波的计算和应用举例第二章维纳滤波与卡尔曼滤波2.0引言在许多实际问题中，人们能够测量到的是退化了的或失真了的有用信号。例如：在传输或测量真实信号时，由于存在干扰，接受或测量到的数据与真值不同。我们就说混有了噪声（信道噪声，测量噪声），常常是要解决从噪声中提取有用信号问题。我们就要找一种有最佳线性过滤特性的滤波器，信号和噪声同时输

2、入时，在输出端能尽量把信号精确复现，而噪声能受到最大抑制。维纳（Wiener)和卡尔曼(Kalman)找到了一种从噪声中提取信号的一种滤波方法。这种线性过滤问题，可以看成一种估计问题。表示信号表示噪声表示输出称是的估计值。为估计器。这种滤波器称为最佳滤波器。如果：和的谱在频域上是分离的，容易设计一个线性滤波器抑制噪声并提取信号。这是本科中经典数字信号处理理论中详细讨论过的数字滤波器的设计问题。但是和的谱有一部分相互重叠，则问题就要复杂的多。一般而言，这是信号的最佳估计问题，所谓“最佳”是以一定的准则来衡量的，通常有四种准则：最大后

3、验准则最大似然准则均方准则线性均方准则本章的维纳滤波和卡尔曼滤波采用的是线性均方准则，实际上是最小均方误差准则。称为线性最小均方误差滤波。2.1维纳滤波的标准方程设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位样本响应或传递函数的表达式。其实就是解维纳-霍夫方程（Wiener-Hopf）在因果性即物理可实现的条件下，求解是一个典型难题。维纳滤波器是一个线性非移变系统估计误差：按最小均方误差准则求偏导得（对的导数为零）上式称为正交方程。（这是讲当用两个矢量正交时它们的点乘等于零的关系，正交性原理可借用几何图形表示）可见，满足

4、正交性原理与满足最小均方误差的条件是等价的。由图知，最满足最小均方误差的估计值。正交方程表明，任何时刻的估计误差与用于估计的所有数据（即滤波器的输入）正交。称为维纳滤波器的标准方程——维纳-霍夫方程。如果已知和可求出上式当i取不同值时，实际上对应三种情况：用途：（1）滤波、过滤：用当前和过去输入估计当前输出，是一个因果系统。（2）平滑、内插：用全部数据（过去的以及未来的）估计n时刻的信号，是非因果系统。（3）预测、外推：用n时刻及以前共p个数据来估计未来某时刻n-M的信号。M=1时称P阶预测。无论哪种情况，把希望的输出信号称为期望

5、信号，并用d(n)来表示。()这样维纳滤波问题一般用三个公式表示：2.2维纳霍夫方程的求解维纳滤波器的设计和计算问题可以归结为根据已知和求解维纳-霍夫方程以得到或。方程中求和的范围不同，其求解方法也不同。2.2.1FIR维纳滤波器设：长度为N,则冲激响应矢量为输入矢量输出：维纳霍夫方程可写为或其中求逆矩阵解得维纳-霍夫方程的矩形形式解出：即用有限长来实现维纳滤波器时（当已知和时），可解得满足因果组的。但当N大时，计算工作量大，需要知道和的逆运算。因此，最小均方误差准则的维纳滤波器，用有限冲激响应的FIR滤波器来实现并非有效的方法。

6、OPT表示“最佳”，是FIR的冲激响应。实际上，利用矩阵R的对称和Toeplitz性质，可得到一些高效算法，将在第四章介绍。为了得到维纳滤波器的输出该式说明：维纳滤波器的输出就是信号在输入数据子空间上的正交投影，它是信号的最佳设计。利用双边Z变换求解该方程最简单：上式两端取Z变换利用复数互频率谱和自功率谱可求得非因果IIR维纳滤波器的传递函数，它是一个有理函数。2.2.2非因果IIR维纳滤波器非因果IIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程为：2.2.3因果IIR维纳滤波器标准方程：直接求解决方程是困难的。在的约束下，不能直接转入Z域求但若

7、注意到：如果滤波器输入是白噪声那么：易得：对应的传输函数为：这里表示只取在单位圆内的极点或只取的因果部分。利用白化x(n)的方法求wiener-Hopf方程Z域解.先引进信号模型的概念：任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看成是由一白色噪声激励一物理网络所形成。另一方面，若将x(n)作用于B(z)的逆系统1/B(n)，那么必将产生输出，这就是对“x(n)”的所谓“白化”处理。由模型得知：或：如前所述，设计维纳滤波器的问题就是寻求在最小条件下的最佳问题。由把　　　分解成两个串联的滤波器　　　和即的输出变成了是由自噪声　　激励得到的。

8、若已知：信号的可求得于是求最佳，变成求最佳的问题了。如果：的Z变换用表示，代表一个因果序列，只在时存在，的全部极点必定在单位圆内。由且是的时间序列（对应的单位取样响应）对上两式作Z变换：于是：计算步骤如下：(1)对进行谱分解（因式分解）(2)对进行