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1、2.3离散维纳滤波器的z域解本节要解决的主要问题及方法白化滤波器非因果IIR维纳滤波器的Z域解因果IIR维纳滤波器的Z域解1、本节要解决的主要问题及方法待解决的问题：当h(n)是物理可实现的因果序列时，所得到的Wiener-Hopf方程将存在k≥0的约束，不能直接转到Z域求解。这使得在要求满足物理可实现条件下，求解维纳-霍夫方程成为一个十分困难的问题。解决方法：采用将观测序列x(n)白化的方法，求解Wiener-Hopf方程的Z域解。若不考虑滤波器的因果性，维纳－霍夫方程可以改写为设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z
2、变换，得到Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)x(n)=s(n)+v(n)假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为k=0,1,2,…因为存在k≥0的约束，使得上式不能直接转到Z域求解。如有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)=w(n)，w(n)是方差为的白噪声，由于则因果IIR维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为：k=0,1,2,…k=0,1,2,…由此可见，只要将
3、输入信号转化为白噪声，就可以解得因果IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。为了充分理解这种方法的思想，将首现采用信号白化的方法针对非因果IIR维纳滤波器的求单位脉冲相响应。2、白化滤波器任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白色噪声w(n)激励某个物理网络所形成。x(n)的时间序列信号模型一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器。x(n)的白化滤波器如果B(z)是一个最小相移网络函数，那么1/B(z)显然也是一个物理可实现的最小相移网络，因此可以利用上式白化x(n)。利用白化x(n)的方法求
4、解维纳-霍夫方程利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:于是，在最小均方误差准则下，求最佳Hopt(z)的问题就归结为求最佳G(z)的问题了。G(z)当然也需分因果性或非因果性的约束情况加以讨论。如果已知信号的Pxx(z)，即可由下式求得B(z)。计算Hopt(z)：3、非因果IIR维纳滤波器的求解(2.3.9)求满足最小均方误差条件下的g(k)：为求得相对于g(k)的最小均方误差值，令-∞＜k＜∞-∞＜k＜∞Z变换后非因果IIR维纳滤波器的最佳解：s(n)=s(n)*δ(n)，x(n)=w(n)*b(n)rxs(m
5、)=rws(m)*b(-m)Sxs(z)=Sws(z)B(z-1)非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解的一般表达式假定信号与噪声不相关，即当E［s(n)v(n)］=0时可以得到：Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)信号和噪声不相关时，非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解和频率响应分别为由上式可知：当噪声为0时，Hopt=1，信号全部通过；当信号为0时，Hopt=0，噪声全部被抑制掉；当即有信号又有噪声时，Hopt<1，大小随Pvv的增加而减小，从而达到降低噪声影响的目的。Pss(ejω)≠
6、0,Pvv(ejω)=0Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)≠0Pss(ejω)=0,Pvv(ejω)≠0图2.3.6非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性计算最小均方误差E［
7、e(n)
8、2］min：第一项根据围线积分法求逆Z变换的公式,rss(m)用下式表示:得出第二项由帕塞伐尔定理：取y(n)=x(n),有因此得到假定信号与噪声不相关，E［s(n)v(n)］=0，又因为实信号的自相关函数是偶函数，即rss(m)=rss(-m)，则Sxs(z)=Sss(z)，Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)；Sss(z)=S
9、ss(z-1)4、因果IIR维纳滤波器的求解若维纳滤波器是一个因果滤波器，要求g(n)=0n＜0则滤波器的输出信号估计误差的均方值E［
10、e(n)
11、2］=E［
12、s(n)-y(n)
13、2］类似于（3.3.9）式的推导，得到要使均方误差取得最小值，当且仅当令因果维纳滤波器的复频域最佳解为维纳滤波的最小均方误差为非因果情况时，滤波器的最小均方误差为对于因果情况，比较两式，可以看出非因果情况的E［
14、e(n)
15、2］min一定小于等于因果情况E［
16、e(n)
17、2］min。因果维纳滤波器设计的一般方法：(1)根据观测信号x(n)的功率谱求
18、出它所对应信号模型的传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)，Sxx(z)=σ2wB(z)B(z-1)。(2)求的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即舍掉单位圆外的极点，得(3)积分曲线取单位圆，计算Hopt(z),E［
19、e(n)
20、2］min。例：已知信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，噪声v(n)是零均值、单位功率的白噪声（σ
