维纳滤波和卡尔曼滤波_3.ppt

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1、Levinson-Durbin算法Levinson-Durbin算法首先由一阶AR模型开始，一阶AR模型(p=1)的Yule-Walker为由该方程解出：然后增加一阶，即令p=2，得到由上面方程解出：然后令p=3,4,…,以此类推，可以得到Levinson-Durbin的一般递推公式如下：例2.4.2已知x(n)为AR模型，求AR模型参数（包括模型阶数和系数）。rxx(m)=0.8

2、m

3、解首先对Sxx(z)做傅里叶反变换，得到x(n)的自相关函数rxx(m),（1）、采用试验的方法确定模型阶数p。首先取p=2，各相关函数值由上式计

4、算计算得到a1=-0.8，a2=0,σ2ω=0.36（2）、如果取p=3，可计算出a1=-0.8,a2=a3=0,σ2ω=0.36，说明AR模型的阶数只能是一阶的。（3）、采用谱分解的方法，即对Sxx(z)进行谱分解，得到的模型也是一阶的，其时间序列模型和差分方程为3.5卡尔曼(Kalman)滤波本节讨论的主要问题及方法卡尔曼滤波的状态方程和量测方程卡尔曼滤波的递推算法发散问题及其抑制1、本节讨论的主要问题及方法讨论的主要问题：本节将主要讨论卡尔曼滤波的状态方程和量测方程，及其递推算法。解决方法：利用状态方程和递推方法寻找最小均

5、方误差下状态变量的估计值，即2、卡尔曼滤波的状态方程和量测方程假设某系统k时刻的状态变量为xk，状态方程和量测方程（也称为输出方程）表示为Ak为状态转移矩阵，描述系统状态由时间k-1的状态到时间k的状态之间的转移；Ck为量测矩阵，描述状态经其作用，变成可量测或可观测的；xk为状态向量，是不可观测的；yk为观测向量；wk为过程噪声；vk为量测噪声。图3.5.1卡尔曼滤波器的信号模型为了分析方便,假设状态变量的增益矩阵A不随时间发生变化，wk,vk都是零均值白噪声，方差分别是Qk和Rk，并且初始状态x0与wk,vk都不相关，且噪声向量

6、wk,vk也互不相关，即其中3、卡尔曼滤波的递推算法基本思想：先不考虑输入信号ωk和观测噪声vk的影响，得到状态变量和输出信号（即观测数据）的估计值和再用输出信号的估计误差加权后校正状态变量的估计值，使状态变量估计误差的均方值最小。当不考虑观测噪声和输入信号时，状态方程和量测方程为：输出信号的估计误差（新息）为：为了提高状态估计的质量，用输出信号的估计误差来校正状态变量其中，Hk为增益矩阵，实质是一加权矩阵。校正后状态变量的估计误差及其均方值分别为：未经校正的状态变量估计误差的均方值为：卡尔曼滤波要求状态变量的估计误差的均方值Pk

7、为最小，因此卡尔曼滤波的关键就是要得到Pk与Hk的关系式，即通过选择合适的Hk,使Pk取得最小值。递推步骤：计算状态变量的估计值：计算状态变量的估计误差：由上式可以看出，状态变量的估计误差由三部分组成，可记为其中计算状态变量估计误差的均方值Pk：其中，根据假设的条件，状态变量的增益矩阵A不随时间发生变化，起始时刻为0，则xk-1仅依赖于x0,ω0,ω1,…,ωk-2,与ωk-1不相关，即又仅依赖于xk-1,vk-1，而与vk不相关，即由此可知，也就是说，Pk仅有其中的三项不为零，化简成计算未经误差校正的状态变量估计误差的均方值Pk

8、′：由上面推导结果可以看出，Pk′是一对称矩阵，满足Pk′=(Pk′)T。把Pk′代入Pk,计算增益矩阵Hk分析上式，可以发现第一项和第三项均与Hk无关，第二项为一半正定阵，因此使Pk最小的Hk应满足计算状态变量估计误差的最小均方误差矩阵7.卡尔曼递推公式总结如下：假设初始条件Ak,Ck,Qk,Rk,yk,xk-1,Pk-1已知，其中x0=E［x0］,P0=var［x0］,那么，递推流程见图3.5.2。^^图2.5.3求的卡尔曼滤波一步递推算法卡尔曼滤波的特点：采用递推的方式，不要求存储全部的观测数据，便于实时计算；Hk,Pk,P

9、k′与观测数据yk无关，可以事先计算好并存储；Pk与Qk，Rk是紧密相关的：Rk增大时，Hk变小；（量测噪声大时，增益应取小些，以便减弱量测噪声的影响）P0减小或Qk－1变小或两者都变小时，Pk′变小，Pk变小，Hk变小；（P0减小说明初始估计较好，Qk－1变小表示状态转移的随机波动小，故新观测值对状态预测的校正影响减弱，增益应取小些）例x(t)是一个时不变的标量随机变量，y(t)=x(t)+v(t)是观测数据，其中v(t)为白噪声。若用Kalman滤波器自适应估计x(t)，试设计Kalman滤波器。构造状态空间方程设计x(t)的

10、更新公式例已知在k=0时开始观察yk,yk=xk+vk，用卡尔曼过滤的计算公式求xk，并与维纳过滤的方法进行比较。解(1)由x(n)功率谱及量测方程，确定卡尔曼递推算法。首先对Sxx(z)进行功率谱分解，确定x(n)的信号模型B(z)，从而确定Ak