《复变函数》（西安交大 第四版）ch1复数与复变函数

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1、《复变函数》(西安交大第四版)第一章复数与复变函数§1.复数及其代数运算复数：z=x+iyfz=V-l——虚数单位.兀二Re(z)一实部，尹=Im(z)——虚部.两复数相等是指实部、虚部分别相等.复数间不能比较大小.复数的代数运算：可=旺+沙],z2=x2+iy2.加法:Z]+z2=(X]+x2)+z(z+J2)；减法:Z]-Z2=(兀1一兀2)+'(丿1一歹2)；乘法:Z]・z2=(x1x2-y1y2)+z(x2yI+x,y2)；除法:可二Z?2二西兀2+尹必

2、：兀2只一兀1尹2/工⑴ZjZ訂卅+掳€+必八債丿复数的运算满足交换律、结合律和分配律.共辄复数：z=x+iy9满足:(

3、1)Zl-Z2=Zl-%Z222⑶z・z=x+尹;-13z例1・设z=z+z=2x9z-z=2iy,1-?求Re⑵，加⑵与z・z・(-1)(-/)3z(1+Z)解・z=孵・i(-/)(l-z)(l+z)Re(z)=-<-33.)—I<22J-1-9152’Im(Z)=T^ZZ=4+4=i-§2.复数的几何表示1.复平面平面上建立直角坐标系兀巧，这样(1)z=x+iy<：对应实轴,y轴——虚轴.两轴所在平面称为复平面.⑵复数z=x+iy可用从原点指向点(x,j)的向量表示.22ZZ=ZZZ的摸：Z=r=y/x2+y2.辐角：当zHO时，向量z与兀轴正向的交角&,记Argz=0.tg（

4、Argz）=y/x.辐角主值：的主值argz=&（）,满足一兀＜%5.这样，Argz=argz+2k7T,伙wZ）.注：当z=0时，辐角不定.复数的加减法运算与向量的加减法法则一致.(3)三角表示法：z=r(cos+zsin<9),r=z,&=Argz.(4)指数表示法：z=rejr=z[6=Argz,el°=cos0+isin0=7cos2^+sin20=1例1•将z=-i羽化成三角表示式和指数表示式.解：r—z—V1+3=2,Zg(argz)=-V3,argz=一71亍z=2cos岂+Zsin3平面曲线F（x,y）=0可用复数形式的方程表示，且一些常见曲线用复数形式表

5、示时形式简单.例2.将直线方程兀-2尹=3化为复数形式.1-1-—解：兀=2（Z+Z）^y=2i（Z~Z）f代入方程得：（l+2z）z+（l-2z）z=6.例3.求下列方程所表示的曲线：（1）片一1一补=1；（2）Im（z+z）=4.解：（1）z=x+iy9方程变为：

6、（兀_1）+（尹_1）片=1.即（兀_1）2+（尹_1）2=]即尹=_3直线.§3・复数的乘幕与方根设Z]=i(cos0x+Zsinq)=rxe°x,z2=r2(cos&2+Zsin%)=r2el3~,则iOaZ]Z2=斤”妬.r2el°2=斤字"+"2)习二*二厂1严叫)习r2e/02r2iO若z=r(cos+z

7、sin^)=re又z=厂[cos(&+2k兀)+isin(&+2Att)]=reZ的zn=rneinei(0+2kjr)Z的〃次方根:&+2k7U..0+2k7Tcos+1sinnn例1•求(1-O10.i(e+2k兀)=[re0-10^1/-7ci/eA=32e/2=-32i.解：T1-z=V2[cos(2k;r一彳)+isin(2k^一彳)],#1-z=[cos—(2k7T)+zsin—(2Att)],伙=0，1，2).即wo=(cos——/sin—),w,=V2(cos-jy+isin,§4.区域1.区域邻域：U（z0,^）={zgC

8、

9、z-z0

10、<^}（》>0）；去心邻域

11、:UGo,^）={zeC<

12、z-z0

13、<^};区域：连通的开集称为区域.伙=0,1,…，〃一1）・沪仇。5罟+简罟）.区域D的边界点罠边界3D.区域的边界可能由几条曲线和一些孤立点所组成.闭区域D：区域D连同它的边界刃）・J有界点集：EuU（z（）,R）；［无界点集：E不能包含于任何一个圆中.2.单连域与多连域x=x(t)平面曲线C：y=y^(a-1-b)可改写成：z=z(f)=x(f)+"(/)，(a

14、C为(简单)闭曲线，若C是一条无重点(除端点外)的闭曲线.J单连域伕〃是区域，且B内任一简单闭曲线的内部均属于即无洞区域.多连域D：非单连域的区域，即有洞区域.§5•复变函数1.复变函数定义：设GuC.若存在一确定的法则，对于每个z=x+iyeG9按此法则，总有一个或几个相应的复数w=%+"与z对应，则称w是z的函数，记w=/(z),zgG.G—_定义域；G*={/(z)

15、zgG}一值域.J单值函数：每个Z值对应一个W值，称w=/(z)为单值函数；［多值函数：否则，称