资源描述：
《ch1复数与复变函数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、复变函数历史发展复变函数理论产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都是创建这门学科的先驱。十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等为这门学科的发展作了大量奠基工作。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。工程数学---------复变函数内容复变
2、函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。工程数学---------复变函数应用复变函数理论对数学领域的许多分支的发展都很有影响，它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科。更重要的是，它在其他学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。工程数学---------复变函数第一章复数
3、与复变函数§1复数及其几何表示1.复数定义其中i称为虚数单位，满足设x,y为实数，称形如或的表达式为复数.x,y分别称为复数z的实部和虚部，记作工程数学---------复变函数(1)当时，称为纯虚数;(2)当时，视为实数；(3)当时，称；(4)设则当且仅当工程数学---------复变函数2.复数的代数运算两个复数加减法乘法除法运算规律工程数学---------复变函数共轭复数设复数称复数为的共轭复数，共轭复数的性质记作定义工程数学---------复变函数x轴实轴y轴虚轴面复平面，或Z平面数点向量3.复平面工程数学---------复变函数
4、z
5、=r称为z的辐角,记
6、作当时，辐角不确定.当时，实轴正向与向量z之间的夹角，有无穷多个值，其中仅有一个满足：称之为的主值，记作即向量的长度称为z的模或绝对值,记作模与辐角工程数学---------复变函数辐角主值的确定由于所以工程数学---------复变函数复数的其他表示
7、z
8、=r（三角表示）（指数表示）其中欧拉公式：工程数学---------复变函数4.复球面OxySzNP复球面的四则运算（无穷远点）扩充复平面工程数学---------复变函数例1.求复数的实部、虚部、共轭复数、辐角主值和模.解：工程数学---------复变函数5.复数的乘幂与方根定理11).乘积与商设两个复数乘积的幅
9、角等于它们辐角的和.则两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,工程数学---------复变函数定理二两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.两个复数的商的模等于它们的模的商,工程数学---------复变函数2).幂与根棣莫弗(DeMoivre)公式n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,幂个若则如果定义那么当n为负整数时式(1)和式(2)也成立.注：记作,即工程数学---------复变函数(棣莫弗公式)根令则w称为z的n次根,记作(n为整数)即若亦即工程数学---------复变函数所以那么几何上,z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的的圆内接正n边形的
10、n个顶点.工程数学---------复变函数例2.将下列复数幂的值.解：工程数学---------复变函数例3.求下列根式的值.解：工程数学---------复变函数例4.解方程解：直接验证可知方程的根故方程可写成令则其中工程数学---------复变函数§2区域1.区域的概念平面上满足的点z的集合称为z0的去心邻域.满足满足的所有点的集合,称为无穷远点的去心邻域.的邻域:的邻域；而满足的点z的集合称为点的邻域:的点的集合,称为无穷远点的邻域;工程数学---------复变函数内点:设G为一平面点集,z0为G中任意一点.z0的一个邻域属于G,开集:如果G内的每个点都是它
11、的内点,则称G为开集.区域:平面点集D称为一个区域,如果它满足下列条件:1)D是一个开集;2)D是连通的.边界点:设D为复平面内的一个区域,但P的任意小邻域D的所有边界点组成D的边界.如果点P不属于D,称P为D的边界点.总包含D中的点,如果存在则称z0为G的内点.工程数学---------复变函数区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,闭区域:如果存在正数M,使区域D的每个点z都满足xyo记作.j有界区域：
12、z
13、
