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1、工程数学复变函数-2-工程数学---------复变函数历史发展复变函数理论产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都是创建这门学科的先驱.十九世纪，柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等为这门学科的发展作了大量奠基工作。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学.二十世纪初，列夫勒、彭加勒、阿达玛等作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域.-3-工程数学---------复变函数内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容.-4-工程数学---------复变函数应用复变函
2、数理论对数学领域的许多分支的发展都很有影响，它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.特别是在其他学科上，复变函数也得到了广泛的应用.比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的；另外，复变在流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.第一章复数与复变函数-6-工程数学---------复变函数§1复数及其运算1.复数定义其中i称为虚数单位，满足设x,y为实数，称形如或的表达式为复数.x,y分别称为复数z的实部和虚部，记作-7-工程数学---------复变函数(1)当时，称为纯虚数;(2)当时，视
3、为实数；(3)当时，称；(4)设则当且仅当-8-工程数学---------复变函数2.复数的代数运算两个复数加减法乘法除法运算规律-9-工程数学---------复变函数共轭复数设复数称复数为的共轭复数，共轭复数的性质记作定义-10-工程数学---------复变函数x轴实轴y轴虚轴面复平面，或Z平面数点向量3.复平面-11-工程数学---------复变函数
4、z
5、=r称为z的辐角,记作当时，辐角不确定.当时，实轴正向与向量z之间的夹角，有无穷多个值，其中仅有一个满足：称之为的主值，记作即向量的长度称为z的模或绝对值,记作模与辐角-12-工
6、程数学---------复变函数辐角主值的确定由于所以-13-工程数学---------复变函数复数的其他表示
7、z
8、=r（三角表示）（指数表示）其中欧拉公式：-14-工程数学---------复变函数4.复球面OxySzNP复球面的四则运算（无穷远点）扩充复平面-15-工程数学---------复变函数例1.求复数的实部、虚部、共轭复数、辐角主值和模.解：-16-工程数学---------复变函数5.复数的乘幂与方根定理11)乘积与商设两个复数乘积的幅角等于它们辐角的和.则两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,-17-工程数学--------
9、-复变函数定理二两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.两个复数的商的模等于它们的模的商,-18-工程数学---------复变函数2)幂与根棣莫弗(DeMoivre)公式n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,幂个若则如果定义那么当n为负整数时式(1)和式(2)也成立.注：记作,即-19-工程数学---------复变函数例2.求下列复数幂的值.解-20-工程数学---------复变函数(棣莫弗公式)根令则w称为z的n次根,记作(n为整数)即若亦即-21-工程数学---------复变函数所以那么几何上,z1/n的n个值就是以原点为中
10、心,r1/n为半径的的圆内接正n边形的n个顶点.-22-工程数学---------复变函数例3.求下列根式的值.解-23-工程数学---------复变函数例4.解方程解直接验证可知方程的根故方程可写成令则其中-24-工程数学---------复变函数§2区域1.区域的概念平面上满足的点z的集合称为z0的去心邻域.满足满足的所有点的集合,称为无穷远点的去心邻域.的邻域:的邻域；而满足的点z的集合称为点的邻域:的点的集合,称为无穷远点的邻域;-25-工程数学---------复变函数内点:设G为一平面点集,z0为G中任意一点.z0的一个邻域属
11、于G,开集:如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集.区域:平面点集D称为一个区域,如果它满足下列条件:1)D是一个开集;2)D是连通的.边界点:设D为复平面内的一个区域,但P的任意小邻域D的所有边界点组成D的边界.如果点P不属于D,称P为D的边界点.总包含D中的点,如果存在则称z0为G的内点.-26-工程数学---------复变函数区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,闭区域:如果存在正数M,使区域D的每个点z都满足xyo记作.j有界区域：
12、z
13、14、的实变函数，2.单连通域与多连通域连续曲线:其复数表示式为：则称这曲线为光滑的.若在上x'(t)和y'(t)都是连续的,且光滑曲线:若曲线的参数方程则称其为连续曲线；xyo-28
