3、jn)aaLanMMM1j12j2njnjj12LjnaaLan1n2nn√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.AOA∗AO===ABOBOB∗B②若AB与都是方阵（不必同阶）,则（拉普拉斯展开式）OA∗Amn==−(1)ABBOBO③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.∗aOa1n1na2n−1a2n−1n(n−1)==−(1)2a
4、aKa④关于副对角线：1n2nn1（即：所有取自NNaOaOn1n1不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）11L1xxLx12n222⑤范德蒙德行列式：x1x2Lxn=∏(xi−xj)1≤<≤jinMMMn−1n−1n−1xxLx12n⎛a11a12La1n⎞⎜⎟aaLaA=⎜21222n⎟矩阵的定义由mn×个数排成的m行n列的表⎜MMM⎟称为mn×矩阵.记作：A=(aij)mn×⎜⎟aaLa⎝m1m2mn⎠或Am×n⎛A11A21LAn1⎞⎜⎟TAALAA*=A=⎜1222n2⎟伴随矩阵(ij)，A为
5、A中各个元素的代数余子式.⎜MMM⎟ij⎜⎟AALA⎝1n2nnn⎠2√逆矩阵的求法:−1∗−1A⎛ab⎞1⎛d−b⎞主L换位①A=○注：⎜⎟=⎜⎟A⎝cd⎠adbc−⎝−ca⎠副L变号初等行变换−1②(AEM)⎯⎯⎯⎯→(EAM)−1⎛1⎞−1⎛1⎞⎛a1⎞a1⎛a1⎞a3⎜⎟⎜1⎟⎜⎟⎜1⎟a=⎜⎟a=⎜⎟③⎜2⎟a2⎜2⎟a2⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝a⎠⎜1⎟⎝a⎠⎜1⎟3a3a⎝3⎠⎝1⎠mnmn+mnmn√方阵的幂的性质：AA=A(A)=()A√设Amn×,Bns×,A的列向量为αα1,2,,⋅⋅⋅
6、αn,B的列向量为ββ1,2,⋅⋅⋅,βs，⎛b11b12Lb1s⎞⎜⎟bbLbαα,,⋅⋅⋅,α⎜21222s⎟=cc,,L,c则AB=Cms×⇔(12n)⎜MMM⎟(12s)⇔Aβi=ci，(i=1,2,L,)s⇔βi为⎜⎟bbLb⎝n1n2ns⎠Ax=ci的解⇔A(ββ1,2,⋅⋅⋅,βs)=(Aβ1,Aβ2,⋅⋅⋅,Aβs)=(cc1,2,L,cs)⇔cc1,,2L,cs可由αα,,,⋅⋅⋅α线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.12nT同理：C的行向量能由B的行向量线性
7、表示，A为系数矩阵.⎛a11a12La1n⎞⎛β1⎞⎛c1⎞⎧a11β1+a12β2+L+a1nβ2=c1⎜aaLa⎟⎜β⎟⎜c⎟⎪⎪aβ+aβ+L+aβ=c⎜21222n⎟⎜2⎟=⎜2⎟2112222n22即：⇔⎨⎜MMM⎟⎜M⎟⎜M⎟⎪LLL⎜⎟⎜⎟⎜⎟aaLaβc⎪aβ+aβ+L+aβ=c⎝n1n2mn⎠⎝n⎠⎝m⎠⎩m11m22mn2m√用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.
8、√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.ABTATCT⎛⎞⎛⎞√分块矩阵的转置矩阵：⎜⎟=⎜⎟TT⎝CD⎠⎝BD⎠⎛A⎞−1⎛A−1⎞−1−1⎛A⎞⎛B⎞分块矩阵的逆矩阵：⎜⎟=⎜⎟⎜⎟=⎜⎟BB−1−1⎝⎠⎝⎠⎝B⎠⎝A⎠3⎛AC⎞−1⎛A−1ACB−1−1⎞⎛AO⎞−1⎛A−1O⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−1−1⎝OB⎠⎝OB⎠⎝CB⎠⎝−BCAB⎠n⎛A11⎞⎛B11⎞⎛AB1111⎞n⎛A11⎞分块对角阵相乘：A=⎜⎟,B=
