数学五－－章建跃

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1、数学五简介章建跃zhangjy@pep.com.cn一、内容和要求第一章解三角形本章主要内容是介绍三角形的正弦定理、余弦定理，及其简单应用，旨在通过对任意三角形边长和角大小关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。1.1“正弦定理和余弦定理”对于正弦定理，教科书首先让学生回忆任意三角形中有“大边对大角，小边对小角的边角关系”，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引

2、出三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很容易得到直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现和实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就可以证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。利用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，教科书首先说明了什么是解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边叫做三角形的元素。由已知三角

3、形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。应该注意，上述对于解三角形的描述是对传统的关于解三角形的一个简化。在传统的解三角形问题中，还把三角形的中线、高、角平分线等也作为三角形的元素。教科书对此作了简化的处理，仅把边和角作为元素。正弦定理实际上包含了三个等式，每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系，因此，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。教科书用两个例题说明应用正弦定理解三角形的

4、方法。已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形，教科书在探究与发现：“关于解三角形的进一步讨论”中对此作了说明。教科书的例2也涉及了这种情况。对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。解这个三角形，就是从量化的角度来研究这个问题。教科书先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找

5、出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明。教科书利用向量的数量积证明了余弦定理。余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：（1）已知两边和它们的夹角解三角形；（2）已知三角形的三边解三角形。分析了余弦

6、定理与勾股定理之间的关系，即余弦定理可以看作是勾股定理的推广，教科书中的例3和例4说明了余弦定理及其推论可以解决的解三角形问题。在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题。1．2“应用举例”正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，教科书在第1.2节“应用举例”介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两

7、个定理的方法，等等。但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性。这里介绍的许多问题是用以前的方法所不能解决的。本节的例1和例2是两个有关测量距离的问题。例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题。例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题。由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决，但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到

8、达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。例6是一个有关测量角度的问题。关于三角形的有关几何计算，教科书涉及了三角形的高和面积的问题。教科书直接给出了计算三角形的高的公式，这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到。教科书证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式。在不同已知条件下求三角形的