二次函数与面积主题材料

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1、'重庆市巴川中学初2019级九上数学专题训练三——二次函数与面积问题班级______姓名_______等级________题型一：在抛物线上求一点，与已知三角形的面积相等（或成倍数）．例1、定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的勾股点．（1）直接写出抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标；（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx(a≠0)与轴交于A，B两点，点P(1,)是抛物线C的勾股点，

2、求抛物线C的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q（异于点P）的坐标．图1图2'练习1.如图，已知抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点．（1）直接写出点A、B、C、D的坐标，并求出S△ABD；（2）求出直线BC的解析式；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．'题型二：已知二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大例2.如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其

3、中A点的坐标是(-1,0)，C点坐标是(-4,-3)．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是位于直线AC的上方抛物线上的一动点，试求△ACE的最大面积及E点的坐标；'（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在异于点E的P点，使S△PAC＝S△EAC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．ABCxyO变式：在抛物线上是否存在点P，使S△PAC＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．ABCxyO'[练习]1.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.（

4、1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.'2．在平面直角坐标系xoy中，规定：抛物线y=a(x-h)2+k的伴随直线为y=a(x-h)+k.例如：抛物线y=2(x+1)2-3的伴随直线为y=2(x+1)-3，即y=2x-1（1）在上面规定下，抛物线y=(x+1)2-4的顶点为.伴随直线为；抛物线y=(x+1)2-4与其伴随直线的交点坐标为和；（2）如图，顶点在第一象限的抛

5、物线y=m(x-1)2-4m与其伴随直线相交于点A,B(点A在点B的右侧)与轴交于点C，D．①若∠CAB＝90°求的值；②如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值.'3.抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0)．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；'（2）该抛物线与直线y=0.6x2+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N,连结PC、PD，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及

6、P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使S△QCD=S△PCD，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．'4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．'题型三：抛物线中，以面积

7、为条件的几何问题例3.如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．''练习3:1.如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC=3，直线l是抛物线的对称

8、轴，E是抛物线的顶点．（1）求b，c的值；（2）如图1，连BE，线