2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案（含解析）新人教A版

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1、2.2.3　向量数乘运算及其几何意义考试标准课标要点学考要求高考要求向量的数乘运算cc向量数乘运算的几何意义bb知识导图学法指导1.与实数乘法的运算律类似，向量数乘也有“结合律”、“分配律”．运用向量数乘的运算律时，要注重其几何意义．2．向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算，其中，向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础．3．向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的，它可以判断几何中三点共线和两直线平行，注意区别向量平行与直线平行．4．学习了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以用向量表示，这就为用向量法解决几何问题奠定了基础.1.向量数乘运算实

2、数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．(3)当λ＝0时，λa＝0.　理解数乘向量应注意的问题(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋，λ－均没有意义．2．数乘向量的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.3．共线

9、向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.　向量共线定理的理解注意点及主要应用(1)定理中≠不能漏掉.若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝0，≠，则不存在实数λ，使得＝λ.(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数λ与向量a，则λ＋a与λ－a的和是向量．(　　)(2)对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反．(　　)(3)对于非零向量a，向量－6a的模是

10、向量3a的模的2倍．(　　)(4)若b与a共线，则存在实数λ，使得b＝λa.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有(　　)A．a与b方向相同B．a与b方向相反C．

11、a

12、＝

13、3b

14、D．

15、a

16、＝

17、b

18、解析：因为－3<0，所以a与－3a方向相反．且

19、－3a

20、＝3

21、a

22、，即

23、b

24、＝3

25、a

26、，故选B.答案：B3．化简：＝(　　)A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b解析：原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，选B.答案：B4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b

27、＝(　　)A．4e2　　　B．4e1C．3e1＋6e2D．8e2解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.答案：D类型一　向量的线性运算例1　(1)计算：①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)．(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．【解析】　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i

28、－5j.　(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．方法归纳向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过

29、程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练1　化简：(1)－2；(2).解析：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.(2)原式＝＝4－a＋－3＋＋b＝＝a－b.先由运算律去括号，再进行数乘运算．类型二　向量共线条件的应用例2　已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证A，B，D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．【解析】　(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2

30、)因为ke