[理学]数学建模与科学计算第二章

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1、第2章城市供水量的预测模型——插值与拟合算法2.1城市供水量的预测问题2.1.1实际问题与背景为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量记录估计未来一时间段（未来1天或1周）的用水量，以便安排未来（该时间段）的生产调度计划．现有某城市7年（2000年1月1日～2006年12月31日）用水量的历史记录，如表2.1.1表2.1.22000-2006年1月城市的总用水量（万吨/日）年份2000200120022003200420052006用水量4032．414186．02544296．98664374．8524435．23444505．42744517．6993所示．如何充分地利用这些数据

2、建立数学模型，来预测2007年1月份城市的用水量，以制定相应的供水计划和生产调度计划．表2.1.1某城市7年日常用水量历史记录（万吨/日）日期2000010120000102……2006123020061231日用水量122.1790128.2410……150.40168148.2064利用这些数据，可以采用时间序列、灰色预测等方法建立数学模型来预测2007年1月份该城市的用水量．如果能建立该城市的日用水量随时间变化的函数关系，则用该函数来进行预测非常方便．但是，这一函数关系的解析表达式是没办法求出来的，那么，能否根据历史数据求出该函数的近似函数呢？根据未知函数的已有数据信息求出其近似函数的

3、常用方法有插值法和数据拟合．本章将详细介绍插值法和数据拟合，并用这两种方法对该城市的供水量进行预测．2.2求未知函数近似表达式的插值法2.2.1求函数近似表达式的必要性一般地，在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到该函数在有限个点上的函数值（即一张函数表）．显然，要利用这张函数表来分析函数的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值是非常困难的．在有些情况下，虽然可以给出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来也很不方便．面对这些情况，希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数作为未知函数的近

4、似．插值法是解决此类问题的一种常用的经典方法，它不仅广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算的基础．定义2.1设函数在区间上连续，且在个不同的点上分别取值，在一个性质优良、便于计算的函数类中，求一简单函数，使(2.2.1)而在其他点i(i=0,1,2,…,n)上作为的近似．区间称为插值区间，点称为插值节点，式（2.2.1）称为的插值条件，函数类称为插值函数类，称为函数在节点处的插值函数，求插值函数的方法称为插值法．插值函数类的取法不同，所求得的插值函数逼近的效果就不同，它的选择取决于使用上的需要．常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等．当选用代数多项式作为插值

5、函数时，相应的插值问题就称为多项式插值．这里主要介绍多项式插值．在多项式插值中，求得一个次数不超过的代数多项式(2.2.2)使（2.2.3）成立，其中为实数．满足插值条件(2.2.3)的多项式(2.2.2)，称为函数的次插值多项式．次插值多项式的几何意义：过曲线上的个点作一条次代数曲线作为曲线的近似，如图2-1所示．图2-1插值多项式的几何直观图2.2.2插值多项式的存在唯一性由插值条件（2.2.3）知，的系数满足线性方程组（2.2.4）由线性代数知，线性方程组（2.2.4）的系数行列式是阶范德蒙（Vandermonde）行列式，且．因为是区间上的不同点，上式右端乘积

6、中的每一个因子，于是系数行列式不等于0，即方程组（2.2.4）的解存在且唯一．从而得出插值多项式的存在唯一性定理．定理2.1若插值节点互不相同，则满足插值条件（2.2.3）的次插值多项式（2.2.2）存在且唯一．2.3求插值多项式的拉格朗日（Lagrange）法在2.2节，插值多项式存在唯一性的证明过程不仅指出了满足差值条件的次插值多项式是存在唯一性的，而且也提供了插值多项式的一种求法，即通过解线性方程组（2.2.4）来确定其系数．但是，当未知数个数很多时，这种做法的计算量大，不便于实际应用．Lagrange基于用简单插值问题的插值函数表示一般的插值函数的思想，给出一种求插值函数的简便

7、方法，即Lagrange插值法．2.3.1Lagrange插值基函数先考虑简单的插值问题：对节点中任意一点作一个次多项式，使它在该点上取值为1,而在其余点上取值为零,即满足插值条件（2.3.1）式（2.3.1）表明个点都是次多项式的零点，故可设，其中为待定系数，由条件可得故（2.3.2）对应于每一节点都能求出一个满足插值条件（2.3.1）的次插值多项式（2.3.2）．这样，由