第3章 布尔代数与逻辑函数化简

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1、第3章布尔代数与逻辑函数化简3.1基本公式和法则3.2逻辑函数的代数法化简3.3卡诺图化简布尔代数又叫逻辑代数或开关代数，它是英国人乔治·布尔(G，Boo1e)于1849年首先建立的。1938年香农(Shannon)才开始将其用于开关电路的设计。到20世纪60年代，数字技术的发展才使布尔代数成为逻辑设计的基础，在数字电路的分析与设计中得到广泛的应用。在布尔代数中，它把矛盾的一方假定为“1”,另一方假定为“0”，这样就把逻辑问题数学化了，然后利用布尔代数中的一些基本前提及定理，对问题作数学运算便可得到合乎逻辑推理的结果。由于数字电路采用的是“0”和“l”二进制代码，因此布尔代数也就成了逻辑电路

2、分析和设计的重要数学工具。布尔代数与普通代数均是以字母A、B、C、……X、Y、Z等来表示变量的。但在布尔代数中，这些变量的取值范围仅是“0”和“1”，这些变量称为逻辑变量。逻辑运算有三种基本运算，即与、或、非。而一个实际的逻辑电路往往是比较复杂的，是由许多基本运算组成的，即由许多门电路组成。如何分析它的功能，如何设计出这些电路，还需要我们进一步来讨论布尔代数的一些基本公式和规则。3.1基本公式和规则3.1.1基本公式基本公式反映了逻辑运算的一些基本规律，只有掌握了这些基本公式，才能正确地分析和设计出逻辑电路。下表给出了布尔代数常用的基本公式。1.基本公式和规则可见，每个定律几乎都是成对出现的

3、，它们互为对偶式，证明一个即可2.逻辑代数的基本公式验证－－用真值表ABCB·CA+BC(A+B)(A+C)(A+B)(A+C)00000101001110010111011100010001000111110011111101011111000111113.分配律证明A+BC=(A+B)(A+C)由表中可知A+BC=(A+B)(A+C)吸收律1的证明中，只证第二式：在吸收律2的证明中，也只证第二式：A+AB=A(1+B)=A(因为1+B=1)吸收律3也只证第二式：（证毕）（证毕）（证毕）4.吸收律证明5.多余项定律证明6.多余项定律可推广为3.1.2逻辑代数的基本法则1、

4、代入法则逻辑等式中的任何变量A，都可用另一函数Z代替，等式仍然成立。代入法则可以扩大基本公式的应用范围。例1证明解这是两变量的求反公式，若将等式两边的B用B+C代入便得到这样就得到三变量的摩根定律。同理可将摩根定律推广到n变量两变量以上的非号不动，则可得原函数F的对偶式G，且F和G互为对偶式。根据对偶法则知原式F成立，则其对偶式也一定成立。这样，我们只需记忆表3-1基本公式的一半即可，另一半按对偶法则可求出。注意，在求对偶式时，为保持原式的逻辑优先关系，应正确使用括号，否则就要发生错误。如逻辑代数的基本法则将任何一个逻辑表达式中的所有①“·”换成“+”，“+”换成“·”②“0’’换成“1

5、”，“1”换成“0”③变量不变④变量以上的非号要保留所得到的表达式就是原函数F的对偶函数G，且F和G互为对偶式，这个规则称为对偶规则。例如：2.对偶法则讨论对偶函数的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则，我们只需记忆基本公式的一半即可，另一半按对偶法则可求出。其对偶式为如不加括号，就变成显然是错误的。注意：在求一个函数的对偶函数时，要注意先后顺序，为保持原式的逻辑优先关系，应正确使用括号，否则就要发生错误。如：逻辑代数的基本法则由原函数求反函数，称为反演或求反。摩根定律是进行反演的重要工具。多次应用摩根定律，可以求出一个函数的反函数。例2求的反函数解用摩根定律求

6、3.反演法则逻辑代数的基本法则先算第一个大非号由上面可以看出反复用摩根定律即可，当函数较复杂时，求反过程就相当麻烦。为此，人们从实践中归纳出求反的法则。逻辑代数的基本法则将任何一个逻辑表达式中的所有①“·”换成“+”，“+”换成“·”②“0’’换成“1”，“1”换成“0”③原变量换成反变量，反变量换成原变量④公共非号(两个或两个以上变量的非号)要保留那么所得到的表达式就是函数F的反函数(或称补函数)。这个规则称为反演规则。反演法则逻辑代数的基本法则反函数和对偶函数之间在形式上只差变量的“非”。逻辑代数的基本法则例2与上面用摩根定律求出结果一样。例1：例2：注意：在运用反演规则求一个函数的反函

7、数时，逻辑运算的优先顺序：先算括号与运算或运算非运算。另外，为保持原式的逻辑优先关系，也要正确使用括号，否则就要发生错误。逻辑代数的基本法则证明等式我们可以通过上述基本公式证明等式的成立。例3用公式证明异或逻辑的非＝同或逻辑，用真值表可以证明,用基本公式也能证明。3.1.3基本公式应用解：得00将此等式推广：在两项组成的与或表达式中，如果其中一项中含有原变量，而另一项含有变，将这两项的其余因子各自取反，就可