天津市新华中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷 含解析

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1、新华中学2017—2018学年度第一学期高二年级部期中考试数学学科第Ⅰ卷一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的斜率为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】解：化为斜截式为．故选．2．若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（）．A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．以上都有可能【答案】【解析】解：直线与圆相交知圆心到直线距离，得，则到圆心距离．故选．3．圆与圆的公共弦长为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】解：两圆方程相减公共弦所在直线方程为，与前一个圆距离，半径，则

2、弦长．故选．4．已知椭圆的两个焦点分别为，，斜率不为的直线过点，且交椭圆于，两点，则的周长为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由题意可得，周长：，故选．5．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】解：设弦的两端点为，，为中点得，，在椭圆上有两式相减得，则，且过点，有，整理得．故选．6．经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】解：与渐近线相同，所以设为，将代入可得，，则为．故选．7．若双曲线的两个焦点，，为双曲线上一点，且，则的面积

3、为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由题意可知，则，，，由余弦定理得，即，解得，，．故选．8．（理科生做）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】解：如图，轴于点，，，点在轴上，由射影定理得，，，解得，解得，则，即且．故选．8．（文科生做）已知椭圆与双曲线的焦点重合，，，分别为，的离心率，则（）．A．且B．且C．且D．且【答案】C【解析】解：椭圆焦点为，双曲线集点为，则有，解

4、得，，，．故选．第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】解：关于的对称点为，则圆心为半径为，故标准方程为．10．若双曲线的离心率为，则实数__________．【答案】【解析】解：由题意可得，，，则，解得．11．经过两点，的椭圆的标准方程为__________．【答案】【解析】解：设方程为，代入，得，，解得，，故方程为．12．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则的离心率为_

5、_________．【答案】【解析】解：由题意可得，则为正三角形，则到渐近线距离为，，渐近线为，则，则，解得．13．（理科生做）已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足，，则点分轨迹方程为__________．【答案】【解析】解：由为中点可得，，则，而点坐标为，则，则，且，，则轨迹方程为．13．（文科生做）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点于点关于轴对称，为原点，若为的中点，且，则点的轨迹方程为__________．【答案】【解析】解：由为中点可得，，则，而点坐标为，则，，且，，则轨迹方程为．14．已

6、知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为__________．【答案】【解析】解：设椭圆和双曲线的长半轴长和十半轴长分别为，，焦半径为，设，则有，，解得，，由余弦定理得，整理得，，当时成立等号，故结果为．三、解答题：（本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分分）已知圆．（）求与圆相切，且在轴、轴上的截距相等的直线方程．（）已知过点的直线交圆于、两点，且，求直线的方程．【答案】见解析．【解析】解：（）若直线过原点，设为，圆心为，半径为，则

7、由与圆相切，可得，解得，此时直线方程为．（）若直线不过原点，设为，则，解得或，此时直线方程为或，综上所述，直线方程为或．①若斜率不存在，则直线方程为，弦长距，半径为，则，符合题意．②若斜率存在，设直线方程为，弦心距得，解得，综上所述，直线的方程为或．16．（本小题满分分）已知椭圆过点，且离心率为．（）求椭圆的方程．（）已知双曲线的离心率是椭圆的离心率的倒数，其顶点为椭圆的焦点，求双曲线的方程．（）设直线与双曲线交于，两点，过的直线与线段有公共点，求直线的倾斜角的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（）由题意可得，，解得，，故椭圆方

8、程为．（）由题意可得双曲线离心率，，则，，故双曲线方程为．（）联立，得，解得或，则，．17．（本小题满分分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为和，以点为圆心，以为半径的圆与以点为圆心，以为半径的圆相交，且交点在椭圆上