【精品】数值分析6-2

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1、§6.3一阶常微分方程组的数值解一、一阶方程组和高阶方程组1.一阶方程纽前面讨论的是单个方程$=/（%,y）的数值解法，只要把y和f看成向量，那么前面所讨论的各种计算公式，都町以用于一阶方程组的情形.例如，对一阶线性微分方程组二.齐（兀,％」2）y】（x（））=yiog。1、

2、*2））‘2（兀0）=歹20如果用显式的民0公式计算，则其计算公式为儿屮=儿”+/昉（£，儿”，）‘2“）>'2,“+1=）‘2“+加2（兀，儿』2”）若记:y=(Ji,y2y，・f(x,y)=(/1(x,X,y2),f2(

3、x,X,y2))T,y0=(y10,畑)则方程组（6.3.1）可简单写成(6.3.2)(6.3.3)(6.3.4)(6.3.5)y=f(x,y))'(“))=)'o相应的显式民0计算公式为儿+1=儿+妙（兀“，儿）隐式Euler计算公式为y“+i=z；+£l/（兀“，y〃）+/（x〃+i，y〃+i）l改进的Euler计算公式为必=儿+妙（百,儿）<冗+1=儿+/子（£+1，）叮+1）儿+1=（）洛1+冗+1）/2如果采用经典的R-K方法，其计算公式为h儿+1=儿+:伙11+2禺2+2人3+人4）(6.3.6)W（兀，儿，畑）,k21

4、=f2（Xn，儿，九）hhh^14=f}(Xn+—，V-++—灯3)24=fl(Xn+~^Tln+~^l3^2n+_^23)利用节点兀“上的函数值yin,y2n依次计算Ki，k、2,k22f%,k23,褊，心”再将它们代入（6.3.6）式求得节点x曲上的函数值儿卄1,力,曲，如此逐点计算得到各节点处的函数值.若采用向量形式，则可简单的表示成h儿+i=儿+;伙1+2心+2忍+忍）人二心，儿），k2=f（xn+£，儿+牛1）'hh^3=/Un+亍儿+尹）,褊=/（兀“+九儿+地）.这里,儿+产（儿“+1，畑+1几儿二（儿，畑几k产％心丁

5、,焉二％2,他2八妬二&3,焉3几灯二&4,為4）丁•利用Matlab可以方便的编制求解程序.类似的可以将结论推广到“个方程组的情形.2.高阶方程组一般地，对于高阶方程组，我们总可以将降阶为一个一阶方程组的形式•如对三阶微分方程的初值问题:Lv（^o）=儿，）/（兀0）=）?o?/Uo）=）?o引入新变量，儿二『，儿二）/，则可将三阶方程化为如下一阶方程组）心0）=儿yiU（））=>o72=/*（U，）‘2）歹2（兀0）=）'；其显式少公式为：儿+1=儿+叽儿T=儿“+叽“九曲=血〃+"（兀儿，儿"九）同理可以写出相应的经典R-K公

6、式，这里略去.可见，一阶方程组的数值解法是求解高阶方程组的基础.Exp1Considerthesecond-orderinitial-valueproblemy"—2yz+2y=e2xsinx,for0

7、higher-orderequations.Notethatnthderivativey(n}(x)isspecifiedbyDny,theactualvaluesofyl,y2canbegetby[yl,y2]=dsolve(，Dyl=y2,Dy2二exp(2*x)*sin(x)-2*yl+2*y2',yl(0)=-0.4,y2(0)二-0.6','x')yl--2/5*exp(2*x)*cos(x)+l/5*exp(2*x)*sin(x)y2二4/5*exp(2*x)*sin(x)-3/5*exp(2*x)*cos(x)Noww

8、euseTheRunge—Kuttamethodtoapproximatethesolutiontothisproblemusingh=0.1.Theinitialconditionsgivey}(0)=—0.4and(0)=—0.6.何1*1(兀0，儿0，y20)=J20=y2(°)=-0-6,k2X=f2(x0,儿。，畑)=e2x0sin0-2y10+2y2Q=-0.4hhhhk沪人(心+亍儿丿+㊁匕‘畑+㊁緒戸畑+㊁灯广一①6+(一0・02)=-0.62hhhk.22~『2(兀0T—，}?ioT—'ii，〉‘2ov—*2i)=

9、sin(0+0.05)-2(—0.4+0.05x(—0.6))+2[-0.6+0.05X(-0.4)]=0.3247644757hhhhW(x0+-,儿)+—人2，)-20+一^22)=)?20+-心2-6+0.05X0.324764