【精品】数值分析6

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1、第六章常微分方程的数值解法§6.1引言在高等数学的有关常微分方程的内容中，我们主要讨论的是一些典型方程的解析解的基本求法.然而在生产实际和科学研究中遇到的微分方程往往比鮫复杂，在大多数悄况下都不能得到问题的解析解表达式；有时即使是一些已有了求解的基木方法的典型方程，在实际使用时也有很人的困难.如求解线性常系数微分方程，当方程的阶数较高时，就涉及高次代数方程的求根问题.因此在实际问题小，对于求微分方程，一般只耍求得到解在若干点上的近似值或者解的便丁•计算的近似表达式.本章主要考虑一阶初值问题的单步法和多步法，及其误差分析和单步法的稳定性分析；介绍二点边值问题的差分法，打靶法和有限元法.

2、一阶初值问题的基木形式是：J)/=f(x,y)a

3、dJ]的一个分划•所谓微分方程的数值解，即寻找方程在节点x0,xl,…，乙上的近似值九，儿，儿•相邻2个节点间的距离hi=呂+]-乞称为步长•一般取hi为常数，即h产h,于是

4、xk=x0+kh,k=…丿将(6.1)的两端在区间[x{,xM]上积分,得到Mf(x,y)dx即yg+i)=丿(兀)+f'对积分『f(x,y)dx应用左矩形公式f+，f(^y)dxQ/(%,•,)'(%,))/?,(h=xi+i-xi)得到离散的近似等式y(xi+l)=y(xi)+/(兀，y(x,))/?或者兀+1=兀+/（兀」）/2（6・2）若利用右矩形近似公式「/（x,y）dx〜/（x/+1,y（xi+i））/:得到相应的离散化近似等式〉'（兀+】）=y

5、后各点的上的值.因此（6.2）式称为显式少公式（6.3）式中因右端式子屮含有待求函数值）g,不能逐步显式计算故称为隐式/〃"公式.如果将两式坐算术平均，就得到梯形公式：h儿+1=X+才/（兀，X）+f（旺+iJ+1）〕（6・4）由于它们都是用儿去计算儿+1,故称它们为单步法.公式（6.2）,（6.3）,（6.4）统称为差分公式,显式Euler公式的具有明显的儿何意义：在区间［兀0,兀］］上用过POo，y0）以/Oo，）'o）为斜率的直线y二儿+/（兀0』0）（兀一兀0），近似代替y（x）,用该总线与直线乳二歼的交点Pi（E，y1）的纵坐标儿二儿+/（兀（），儿）力近似代替）<%,）.

6、然后在区间［x,,x2］上用过片（坷，X），以/（^,X）为斜率的直线）心『1+/（兀］,儿）（兀一坷）近似代替y（x）,用该直线与总线X二兀2的交点p2（兀2,儿）的纵处标歹2=儿+/（丙，儿）力作为y（x2）的近似值•一般地设折线已推进到P©,片）,则在区间［兀,和］上用过点Pj（无,必）,斜率近似替代）心）….依次类推，得到一条折线•因此显式Euler公式冇时又称折线法.2•隐式公式的计算对于隐式方法，如果/（兀,y）是y的线性函数则可显化计算•如W=xy+5,其隐式Euler公式为儿+1=X+（£+1X+i+5）/7，简单化简得：yM=（y,-+5/i）/（1-hxM）,依此

7、公式可计算各点处的函数值.但当f（x,y）是），的非线性函数时，则相应的隐式®〃许公式不能显化，而需要通过其它的方法（比如迭代法）求解.对于隐式公式的求解，每前进一步都要进行若干次迭代，而且需要提供好的迭代初始值，使迭代尽快收敛•通常冇两种方法：一是先由显式的EMw厂公式提供一个迭代初值，再用隐式公式进行简单迭代•以梯形公式为例，其简单迭代为：

8、指存在常数厶>0,使得

9、/（1］）一/（兀」2）

10、5厶卜］->‘2对任意的）,儿成立.于是由（6.4）与（6.5）得到片+1-MfT二£［/（和，兀+1）+门兀+1，必））1从而hx+i-y；+i+1）=㊁［/（石+1，x+i）-f（xM，比;）1W制畑-甯徑…諾硏畑-朗Ihl2这说明，只有当—<1,即/?<-迭代序列才收敛.2L二是可以采用所谓的预测校正技术.其思想是在每步迭代前川显式方法预测一个值y器，然后用隐式公式校正一次（迭代一次）•如显式Eu/e