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1、复变函数论文复变函数在专业上的应用及系统稳定性的推广姓名：董冰学号：093409119学院（系）：电气与电子工程系专业：电子信息工程指导教师：秦志新评阅A：复变函数在专业上的应用及系统稳定性的推广【摘要】：Laplace变换、Z变换是处理信号的两种常用方法，文中介绍了两种变换的应用，并用两种不同的分析方法解决问题，突出不同情况下不同方法的特点。Laplace变换应用于连续信号的分析，Z变换应用于离散信号的分析，以及由此推广到专业软件上的应用，如MATLAB分析信号的频谱特性、稳定性等。最后还由Laplace分析法判断系统的稳定性，同时也指出分析其稳定性重要作用，并通过分析稳定裕量等
2、多种方法判断稳定性，探讨自动控制中Laplace的应用，还有Laplace变换在积分、微分反馈控制器中的应用（P1D）,使复杂的信号问题简捷化,精确化。【关键词】：Fourier变换，Laplace变换，Z变换【正文】：提出问题：复变函数的运算是实变函数运算的一种延仲，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当他引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在电子信息方面的应用也更大的加快了电信业的发展，信息处理与转换也更加离不开一套
3、有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。分析问题：虽然Fourier变换的应用是有一定范围的，但是下面介绍了一些例子,我们从中可以看到,Laplace变换与Z变换填补了Fourier变换的不足之处,究竟其有什么好处，看卞面例题。例1描述某因果连续LTI系统的微分方程/(r)+7/(r)+10y(O=+3x(r)已知,y(0)=1,y'(0)求解(1)零输入响应儿•(『)(2)零状态响应比⑴(3)冲击响应力⑴解：法一(1)系统的特征方程为s2+7s+10=0解特征方程，的特征方程的根为必=
4、-2宀=-5俩不等实根)故设系统的零输入响应儿•⑴为场⑴詁严+k2e~5lyt>0~带入初始状态y(o_)=i,y(o~)的值，有)，(0「)=心+©=1)/(0・)二-2/-5心二1解得k1=2,k2=-1，因此零输入响应为儿仗)=2产一严(2)根据系统的冲击响应h(t)的定义，当b⑴时，y(t)即为h(t),即原微分方程为：h"⑴+7/?z(r)+10%)=2/(04-3x(0,r>0由于微分方程的特征根s1=-2,s2=-5,且n>m,因此冲击响应h(t)的形式为/?(0=[A
5、1]+l—[Ae~21+Be'1]+10[A严+]=2必)+3cr(r)解得A=-1/3,drdtB=7/3,因此可得系数的冲击响应为]7h(t)=[--e-2{+-e5r]u(t)(3)零状态响应人⑴-00儿$(f)=X(0*/2(/)=jx(r)/?(r-T)6/r+8法二：解：⑴对微分方程两边做单边拉氏变换，得s2Y(s)-sy(Q~)-y(0~)4-7$丫($)-7y((T)+1OF(s)=(2$+3)X($)整理后，可得心如严)+7)；(0-)+2s+3“)零输入响应的s域表达式为厂+7s+10厂+7s+10儿心)=「+8=亠丄对上式进行拉斯反变换，得八『+7$+1()5
6、+2$+5Y.^=L[{Yzi(s)}=2e-2t-e-5t>0(2)零状态响应的S域表达式为y⑶一^±2_2Z9__^3__2/L($2+7$+10)($+2)5+2(s+2)2s+5771儿⑴二□{昌(5)}=(--产+-严__(严加⑴(3)根据系统函数的定义，可得H(：・)一纭⑶―2$+3「-I®7/3X($)〃+7$+105+2s+5进行拉斯反变换，即得h⑴=L_1[H(s)]=-(-严+7严)u(0从上面两种解题方法可已看出，后者明显的比第一种方法要简单，无论是从解题的过程还是思路，都有其简单的地方，并且还摆脱了繁杂的步骤，从而使时域的分析转化到了频域，对丁解决信号的分
7、析与频谱的分析都提供了简单的途径，也为以后的各种分析奠定了基础。例2描述某离散LTI系统的差分方程描述为y[k]+3[k-]+2y[k-2]=x[k],k>0已知x[k]=u[k],y[-l]=-2,y[-2]=3q求解(1)冲击响应灿幻(2)零输入相应儿•[幻(3)零状态响应殊[幻解:法一(1)根据单位脉冲响应灿切的定义，它应满足方程灿切+3h[k+1]+2h[k=2]=a[k]该系统为二阶系统，需要两个等效初始条件。在上面差分方程中分别k=0和k=1,可得等效初
