高等代数§1.7 无穷小的比较

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1、无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限小结思考题作业第七节无穷小的比较1如,不可比.观察各极限是无穷小.一、无穷小的比较不存在.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.20.10.01…0.20.02…0.010.0001…0.0010.000001…例考察时，趋于零的快慢可见最快，次之即时，是无穷小所以比趋于零快3定义记作记作infinitesimalequivalence是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;低阶的无穷小;同阶无穷小;等价无穷小,ba,设.0¹a且ab是比就说4如高阶无穷小,同阶无穷小.因为二阶无穷小

2、.k阶无穷小.5阶的比较举例所以当x0时3x2是比x高阶的无穷小即3x2=o(x)(x0)所以当x3时x2-9与x-3是同阶无穷小例例例6所以当x0时sinx与x是等价无穷小即sinx~x(x0)例例解例解78例.证明:当时,～证:～9将常用的等阶无穷小列举如下:当x0时10定理1证因此设则因此设则二、利用等价无穷小替换求极限).(aabo+=11两个等价无穷小的差,比它们中的任何一个都是高阶无穷小;此定理说明:或者说,一个无穷小12例所以所以所以所以,~arcsinxx=xarcsin),(xo

3、x+13定理2证(等价无穷小替换定理)14例解等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限代替.给型未定式的极限运算带来方便.15解:例求16求例解17例解18求例解19求例解20例解加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换.注21例解解错221.无穷小的比较2.等价无穷小的替换求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;同阶(等价)无穷小;无穷小的阶.三、小结反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度但并不是所有的无穷小都可进行比较.快慢,23思考题解24作业习题1-7(59页)3.4.25