导数恒成立和能成立问题

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1、恒成立与能成立「知识讲解一、不等式的恒成立问题1.若兀wD,f(x)>m在£)上恒成立，等价于/(无)在£>上的最小值/(x)inin>加成立.2.若xeD,在D上恒成立，等价于/(劝在D上的最大值/(x)maxg(x)成立，等价于构造F(x)=/(x)-g(x),F(x)min>05.对任意XpX2GD,都有/(%))

2、XpX2GD,都有/(Xjtgg)成立的充要条件是/(兀)罰Mg⑴唤.二、不等式的能成立(存在性)问题1.若存在兀WD,使得fM>m在D上能成立，等价于/(x)在D上的最大值/(x)max>加成立.2.若存在xw£>,使得/(x)上能成立，等价于/(兀)在£>上的最小值/(x)inin<加成立.3.若存在xgD,使得/(x)vg(x)成立，等价于构造F(x)=/(x)-^(x),F(x)min<0.4・若存在xgD,使得/(x)>g(x)成立，等价于构造F(兀)=/(%)-规兀)，F(兀)唤>0.5.若在xpx2gD

3、,至少存在一个心兀2使得/(%!),存在x2gE,使得/(%,)>g(x2)成立，等价于/(x)在D上的最小值/(兀)min2g(咖in在E上的最小值.「典例剖析1.恒成立问题求参数范围：【例1】已知

4、函数/(x)=(x+l)lnx-x+l.*(x)92.恒成立问题求参数范围：分离参数法。【例2】已知函数/(x)=x24-6flnx(1)a=-2e时，求函数/(x)的单调区间和极值，2(2)若函数g(x)=/(x)+—在［1,4］是减函数，求实数d的取值范围

5、x练习.已知/(x)=ae~x+cosx-x(0

6、+lnx(xGR)(1)当a二1时，求/(兀)在区间［1,幺］的最大值和最小值;(2)若在区间(1,+oo)上，函数/(劝的图像恒在直线=2ax下方，求a的取值范围。答案的范围是一丄丄・22高考链接【例1】已知函数/(%)~ax2-(o+l)x+lnxg(x)=x2一心•(I)当d=o时,求曲线y=/(x)在点(1/(1))处的切线方程;(II)求函数/(兀)的单调区间；(III)当。=丄时，函数/(兀)在(0,2]上的最大值为M,若存在xg[1,21，使得g(x)>M4'成立，求实数b的取值范围.【例2】f(x)=xlnx,

7、g(x)=-x2+or-3・(I)求函数/(X)在忆/+2](/>0)上的最小值；(II)对一切施(0,+oo),2/⑴ng(x)恒成立，求实数d的取值范围.泌八、ax2+x+a【例3】已知函数/(%)=(I)函数/(兀)在点(0,/(0))处的切线与直线2x4->-1=0平行，求d的值;(II)当兀^[0,2]时，/(x)>4恒成立，求。的取值范围.◎【例4】己知f(x)=x3-6ax2+9a2x(aeR)•(I)求函数/(x)的单调递减区间；(II)当。>()时，若对任意A-G[0,3]有/(劝W4恒成立，求实数d的取值范

8、围.【例5】已知g>0,函数/(x)=a2X3-ax1+,g(兀)=-czx+l,xeR.(I)当a=1时,求函数/(兀)在点(1,/(1))的切线方程;(II)求函数/(兀)在的极值；(III)若在区间(0,丄］上至少存在一个实数心，使/(兀0)>8(兀。)成立，求巫实舉Q